Demostrar la desigualdad de Hölder condicional utilizando una distribución condicional regular
Estoy tratando de probar la desigualdad condicional de Hölder usando distribuciones condicionales regulares. La desigualdad que intento demostrar es:
por $p,q \in (1,\infty)$ con $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$, y para $X \in \mathcal L^p(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ y $Y \in L^q(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$, y para $\mathcal F \subset \mathcal A$ un sub-$\sigma$-álgebra, casi seguro que tenemos $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right] \leq \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/p}\mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/q} $$
Encontré muchas pruebas de este hecho, pero específicamente estoy tratando de probarlo usando un teorema de distribuciones condicionales regulares:
Dejar $X$ ser una variable aleatoria en $(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ con valores en un espacio de Borel $(E,\mathcal E)$, $\mathcal F \subset \mathcal A$ es un sub-$\sigma$-álgebra, y $\kappa_{X,\mathcal F}$ una distribución condicional regular de $X$ dado $\mathcal F$. Además, deja$f : E \to \mathbb R$ ser medible y $\mathbb E[|f(x)|] < \infty$. Luego,$$ \mathbb E\left[f(x)\,|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_E f(x)\kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) \quad \textrm{for $\ mathbb P$-almost all $\ omega \ en \ Omega$}. $$
Aplicar la desigualdad y la monotonicidad de Young y la linealidad de la expectativa condicional me da $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) \leq \frac 1 p \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) + \frac 1 q \mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \frac 1 p \int |x|^p\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) + \frac 1 q \int |y|^q\kappa_{Y,\mathcal F}(\omega,dy) $$pero tengo problemas para llegar de aquí a la desigualdad deseada. Alternativamente, la desigualdad de Hölder estándar nos da$\mathbb E\left[|XY|\right]<\infty$, por lo que el resultado anterior también implica $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_{\mathbb R^2}|xy| \kappa_{X \times Y,\mathcal F}(\omega, dx dy) $$ Pero ambos enfoques me han llevado a argumentos circulares o al uso de medidas que no creo que existan formalmente (como $A \mapsto \mathbb P[A|\mathcal F](\omega)$ por un fijo $\omega\in\Omega$). ¿Alguna sugerencia u otros lugares para buscar?
Respuestas
Dejar $\pi_1, \pi_2 : \mathbb R^2 \to \mathbb R$ ser las proyecciones $\pi_1(x,y) = x$ y $\pi_2(x,y) = y$. Después de mostrar$\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,\cdot) = (\pi_1)_*\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)$, $$ \int_{\mathbb R^2}|x|^p\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega, dx dy) = \int_{\mathbb R} |x|^p \kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) = \mathbb E\left[ |X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) $$ por el resultado citado en distribuciones condicionales regulares, que es finito para ae $\omega\in\Omega$. Entonces$|\pi_1| \in \mathcal L^p\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$y de manera similar $|\pi_2| \in \mathcal L^q\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$, por ae $\omega\in\Omega$. Entonces, \ begin {align *} \ mathbb E \ left [| XY | \, \ big | \, \ mathcal F \ right] (\ omega) & = \ int _ {\ mathbb R ^ 2} | xy | \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {por el resultado citado en distribuciones condicionales regulares;} \\ & \ leq \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | x | ^ p \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / p} \ left (\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | y | ^ q \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, dxdy) \ right) ^ {1 / q} \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {por la desigualdad de Hölder estándar aplicada a} \ left (\ mathbb R ^ 2, \ kappa _ {(X, Y), \ mathcal F} (\ omega, \ cdot) \ right); \\ & = \ mathbb E \ left [| X | ^ p \, \ big | \, \ mathcal F \ right] ^ {1 / p} (\ omega) \ mathbb E \ left [| Y | ^ q \ , \ big | \, \ mathcal F \ right] ^ {1 / q} (\ omega) \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {por el resultado citado y usando las propiedades de medida de imagen de$\kappa_{X,\mathcal F}$ y $\kappa_{Y,\mathcal F}$.} \ end {alinear *}
¿Qué tal empezar con $$\mathbb E \left[\frac{|X|}{\mathbb E[|X|^p|\mathcal F]^{1/p}} \frac{|Y|}{\mathbb E[|Y|^q|\mathcal F]^{1/q}} \Bigg | \mathcal F \right] ?$$
Si $Z$ es $\mathcal F$ medible, entonces $$ \mathbb E(f(X) Z | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \mathbb E(f(X) | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \int_E f(x) \kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) .$$
Para evitar problemas de cero e infinitos, primero aplíquelo a $X_{\epsilon,N} = (|X| \vee \epsilon )\wedge N$, y de manera similar para $Y$y luego dejar $\epsilon \to 0+$y $N \to \infty$.
Por supuesto, cuando se hace la desigualdad de Young al principio, la introducción de la distribución condicional regular es un paso adicional que no sirve para nada.
Una vez más, no respondo a su pregunta. Pero esto es demasiado grande para los comentarios.
Al probar la desigualdad de Holder estándar, en realidad usamos la desigualdad de Young de esta forma: para cualquier $x,y \ge 0$, $\lambda > 0$ $$ xy \le (\lambda x) (\lambda^{-1} y) \le \tfrac1p \lambda^p x^p + \tfrac1q \lambda^{-q} y^q $$ de donde obtienes $$ E(|XY|) \le \tfrac1p \lambda^p E(|X|^p) + \tfrac1q \lambda^{-q} E(|Y^q|) . $$ Entonces usas: si $A,B \ge 0$: $$ \inf_{\lambda >0} \left(\tfrac1p \lambda^p A^p + \tfrac1q \lambda^{-q} B^q\right) = AB. $$ (Esto es solo poner las condiciones para la igualdad en la desigualdad de Young). Al probar la forma condicional de la desigualdad de Holder, se asumirá el mínimo $\lambda$ un positivo $\mathcal F$-función medible.
Pero lo que esto dice es que si desea usar distribuciones regulares condicionales, realmente debería usar la forma de la desigualdad de Young que escribí anteriormente.