Demostrar la existencia de una solución para ODE $-s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi''$
Dejar $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ ser dos veces diferenciable con $f'' > 0$, y deja $u_- > u_+$ser números reales. Demuestra que existe una solución$\varphi(x)$ a la siguiente ecuación diferencial: $$ -s\varphi' + f'(\varphi)\varphi' = \varphi'' \tag{1} $$ tal que $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$, y donde $s = \frac{f(u_+) - f(u_-)}{u_+ - u_-}$.
Mi intento inicial es observar que este DE puede integrarse muy bien con lo siguiente: $$ \varphi' = f(\varphi) - s\varphi + C \tag{2} $$ Por lo tanto, basta con mostrar la existencia de una solución para esta DE, en la que somos libres de elegir $C$. Intenté llevar RHS a LHS, lo que da:$$ \int \frac{1}{f(\varphi) - s\varphi + C} \; \mathrm{d}\varphi = x + D $$ dónde $D \in \Bbb{R}$. Así, si definimos:$$ g(x) = \int \frac{1}{f(x) - sx + C} \; \mathrm{d}x $$ y asumiendo que $g$ es invertible, entonces $\varphi(x) = g^{-1}(x)$ sería una solución para $(2)$. Sin embargo, hay algunos problemas en este enfoque que debemos abordar:
- La integral no tendrá sentido si $f(\varphi) - s\varphi + C$ desaparece en algún momento de $\Bbb{R}$. Como somos libres de elegir$C$, si podemos demostrar que $f(\varphi) - s\varphi$ está limitada desde arriba o desde abajo, entonces tal elección de $C$existirá. Sospecho que podemos usar la convexidad y la definición de$s$ para probar esto, pero mis intentos son inútiles hasta ahora.
- Si la integral tiene sentido, otro problema es si $g$es invertible. Sin embargo, esto no debería ser un problema como por FTOC:$$ g'(x) = \frac{1}{f(x) - sx + C} $$ así que si el denominador no desaparece, $g'$ es continuo y por lo tanto debe ser estrictamente positivo o negativo, por lo tanto $g$ es estrictamente monótono, por lo tanto invertible.
- El mayor problema aquí es que esta definición no garantiza el requisito de $\lim_{x \to \pm\infty} \varphi(x) = u_\pm$. Traté de manipular la integral para que se ajustara a esta condición, pero fue en vano hasta ahora.
También probé otros enfoques, como usar la iteración de Picard, pero como este problema no es realmente un IVP, no han tenido éxito.
Se agradece cualquier ayuda.
Respuestas
Usando los límites en $\pm\infty$, encontramos $$ C = su_+ - f(u_+) = su_- - f(u_-) \, , $$ $$ \text{and}\qquad \varphi' = f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - u_+) = f(\varphi) - f(u_-) - s(\varphi - u_-) \, , $$vea este ejercicio en Evans PDE. La estricta convexidad de$\varphi\mapsto \varphi'$ se sigue de la convexidad estricta $f''>0$ de $f$. Esta propiedad produce$\varphi' < 0$ para $\varphi \in \left]u_+, u_-\right[$. Por lo tanto,$\varphi$ es una función decreciente suave, que disminuye de $u_-$ a $u_+$. Para investigar la estabilidad del equilibrio$\varphi = u_\pm$, calculamos el signo de la derivada $d\varphi'/d\varphi = f'(\varphi) - s$ en equilibrio, que es negativo en $\varphi = u_+$ y positivo en $\varphi = u_-$debido a la estricta convexidad. Por lo tanto,$u_+$ es un equilibrio atractivo y $u_-$es un equilibrio repulsivo. Dado que el rhs. de la ecuación diferencial anterior no es singular y no posee raíces adicionales, cualquier solución acotada necesariamente conectará ambos valores$u_\pm$ a través de una función decreciente suave $\varphi$. El integrando en$$ x+D = \int_{u_+}^{u_-} \frac{\text d \varphi}{f(\varphi) - f(u_+) - s(\varphi - su_+)} $$ es singular en los límites $\varphi = u_\pm$. La convergencia de esta integral impropia se sigue de su comportamiento asintótico en los límites.