Demostrar la existencia y unicidad de un problema de Cauchy

Aug 20 2020

Necesito ayuda para probar la existencia y singularidad del siguiente problema de Cauchy:

\ begin {cases} y '' + e ^ {x} y = 0 \\ y (0) = 1 \\ y '(0) = 0 \ end {cases}

Esto se puede reprogramar como un sistema de primer orden donde $f$ Se define como $$f(x,y)=[-e^x y , y]^T$$

Para probar la existencia (local) y la unicidad, necesito mostrar que $f$ es localmente Lipschitz wrt $y$, (es el RHS de una EDO)

Yo calculo:

$$\left|| f(x,y_1)-f(x,y_2) \right|| = \left|| [e^x (y_2 - y_1),y_1 - y_2]^T \right|| = (y_2 - y_1)^2 \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) = \left|| y_1 - y_2\right|| \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) $$

Entonces, para $|x| < a$ (es decir, en un barrio de $x_0=0$ yo tengo $$\Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr)\leq1+e^{2a}$$, por lo que es localmente Lipschitz ( pero no globalmente )

¿Todo correcto?

Respuestas

1 S-Erase Aug 20 2020 at 01:05

Tienes la función $f(x,y)$incorrecto. Lo que debe hacer es definir una tercera variable para que sirva como primera derivada de$y$. La función que quieres es$$f([y,y']^T,x) = [y',-e^xy]^T$$. Esta es la función que desea mostrar en Lipschitz.

1 JJacquelin Aug 20 2020 at 04:51

$$\frac{d^2y}{dx^2}+e^x y=0$$ Cambio de variable:$\quad e^x=t\quad\implies\quad \frac{dt}{dx}=t$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=t\frac{dy}{dt}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\frac{dy}{dx}}{dt}\frac{dt}{dx}=(\frac{dy}{dt}+t\frac{d^2y}{dt^2})t=t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}$ $$t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}+ty=0$$ $$\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{1}{t}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{t}y=0$$Esta es una ecuación de Bessel cuya solución es bien conocida. Vea las ecuaciones (6) y (7) en:https://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html $$y(t)=c_1J_0\big(2\sqrt{t}\big)+c_2Y_0\big(2\sqrt{t}\big)$$ $J_0$ y $Y_0$son las funciones de Bessel del primer y segundo tipo respectivamente. La solución general de la EDO es:$$y(x)=c_1J_0\big(2e^{x/2}\big)+c_2Y_0\big(2e^{x/2}\big)$$ Los coeficientes $c_1$ y $c_2$ se determinan según las condiciones $y(0)=1$ y $y'(0)=0$ que conduce a la solución única: $$y(x)=\frac{Y_1(2)J_0\big(2e^{x/2}\big)-J_1(2)Y_0\big(2e^{x/2}\big)}{Y_1(2)J_0(2)-J_1(2)Y_0(2)}$$