Derivado de Bessel $K$

Question

Me interesa la primera derivada de Bessel. $K$función con respecto a su parámetro. Usaré la siguiente notación;$K^{(1,0)}(n,z):= \frac{\partial}{\partial \nu} K_\nu(z) \bigg|_{\nu = n}$

He echado un vistazo a algunas expresiones diferentes para $K^{(1,0)}$, por ejemplo aquí: https://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselK/20/01/01/

Las expresiones me parecen bastante feroces; involucrando sumas infinitas sobre un montón de funciones gamma y funciones digamma, etc. No tengo mucha experiencia manipulando este tipo de series.

Sin embargo, estas expresiones son para general $n\in \mathbb{Z}$ o $n \notin \mathbb{Z}$, y actualmente solo estoy interesado en $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$. Yo sé eso$K_{\frac{1}{2}}(z)$ simplifica significativamente en comparación con un general $K_\nu(z)$, así que siento que puede haber alguna esperanza de que $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ también podría simplificar en comparación con $K^{(1,0)}(n,z)$.

¿Alguien sabe si es posible dar una expresión simplificada para la derivada? $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ de la Bessel $K$ ¿función?

Answer 1

Esta derivada está tabulada explícitamente ( DLMF ) \ begin {ecuación} \ left. \ Frac {\ parcial K _ {\ nu} \ left (x \ right)} {\ parcial \ nu} \ right | _ {\ nu = \ frac {1} {2}} = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}} E_ {1} \ left (2x \ right) e ^ {x} \ end {ecuación} donde \ begin {ecuación} E_ { 1} \ left (z \ right) = \ int_ {z} ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- t}} {t} \ mathrm {d} t \ end {ecuación} es la integral exponencial.