Desigualdad integral para la función de Schwartz

Question

Dejar $s\in(0,1)$, $u\in\mathcal{S}({\mathbb{R}^n})$, $x\in\mathbb{R^n}$ con: $|x|\geq1$, tengo que demostrar que: $$ \int_{B_{|x|/2}(0)} \frac{|u(x+y)+u(x-y)-2u(x)|}{|y|^{n+2s}}\,dy\leq c|x|^{-n-2s}, $$ dónde: $c=c(u,n,s)>0$es una constante. Creo que tengo que usar algo como:$$ |u(x+y)+u(x-y)-2u(x)|\leq|D^2u(y)||y|^2,$$pero después no puedo seguir. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Según el teorema de Taylor, para $|x|\ge1$, $|y|\le|x|/2$y real $k$, $$u(x+y)-u(x)=u'(x)(y)+\int_0^1 ds\,(1-s)u''(x+sy)(y,y) =u'(x)(y)+O(|y|^2/|x|^k),$$ $$u(x-y)-u(x)=-u'(x)(y)+\int_0^1 ds\,(1-s)u''(x-sy)(y,y), =-u'(x)(y)+O(|y|^2/|x|^k).$$ Añadiendo estos, obtenemos $$u(x+y)+u(x-y)-2u(x)=O(|y|^2/|x|^k).$$ También, $$u(x+y)+u(x-y)-2u(x)=O(1/|x|^k).$$ Entonces, tu integral es $$O\Big(|x|^{-k}\,\int_{\mathbb R^n}\frac{dy\,\min(1,|y|^2)}{|y|^{n+2s}}\Big)= O\Big(|x|^{-k}\,\int_0^\infty\frac{dr\,r^{n-1}\min(1,r^2)}{r^{n+2s}}\Big)=O(|x|^{-k}),$$ por cualquier real $k$.