Determinar dónde es positivo el rango de una función

Question

Considere la ecuación cuadrática $y = -\dfrac{3}{4}x^2 + 4x - 4$, con raíces en $x = \tfrac{4}{3}$ y $x = 4$. Me gustaría encontrar los valores de$x$ dónde $y > 0$; eso es donde$$ -\dfrac{3}{4}x^2 + 4x - 4 > 0. $$ Reescribiendo como $$ (x - \tfrac{4}{3})(x - 4) > 0, $$la desigualdad anterior es verdadera cuando
A) ambos $(x - \tfrac{4}{3})$ y $(x - 4)$son positivos
o
B) ambos $(x - \tfrac{4}{3})$ y $(x - 4)$son negativos.
Caso A - ambos positivos:
$x - \tfrac{4}{3} > 0$ => $x > 4/3$ y $x - 4 > 0$ => $x > 4$. Esto es cierto cuando$x > 4$.
Caso B - ambos negativos:
$x - \tfrac{4}{3} < 0$ => $x < 4/3$ y $x - 4 < 0$ => $x < 4$. Esto es cierto cuando$x < \tfrac{4}{3}$.
Por tanto, la solución es$(-\infty, \tfrac{4}{3}) \cup (4,\infty)$. Sin embargo, graficar esta ecuación muestra el rango positivo como$(4/3,4)$. El rango$(-\infty, \tfrac{4}{3}) \cup (4,\infty)$ realmente satisface la ecuación $y = \dfrac{3}{4}x^2 - 4x + 4$.
¿Dónde me he equivocado?

Answer 1

$$-\dfrac{3}{4}x^2 + 4x - 4 > 0$$ no se puede escribir como$$(x-4/3)(x-4) > 0$$ pero como $$-\frac34(x-4/3)(x-4) > 0$$lo que da$$(x-4/3)(x-4)\color{red}<0$$