Determinar la transformada de Fourier
Me dan la transformada de Fourier de $f$ por $\widehat{f}(\xi) = \frac{1}{1 + \xi^{4}}$ y tienes que determinar la transformada de Fourier $\widehat{g}$ de $g(x) = f(x) \cos(2 \pi x)$.
Intenté reconstruir $f$ de su transformada de Fourier de modo que $f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f}(\xi)e^{2 \pi i x \xi}d\xi$ y luego usando $f$ para calcular directamente la transformada de Fourier de $g$ dada por $\widehat{g}(\xi) = \int_{- \infty}^{\infty} g(x)e^{-2 \pi i x \xi}dx$.
Pero siempre estoy atrapado en estas integrales. ¿Existe quizás alguna identidad / truco que funcione en torno a los cálculos directos?
Respuestas
Dejar $$\mathcal{F}{f}(s) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-2\pi isx }dx$$Tenemos $$\mathcal{F}(fg) = \mathcal{F}{f}*\mathcal{F}g$$Dónde $*$denota convolución. Tambien tenemos$$\mathcal{F}\cos 2\pi a t = \frac{1}{2}(\delta(s-a)+\delta(s+a))$$ aquí $a = 1$ y el resultado es $$\mathcal{F}g(s) = (\frac{1}{2}(\delta(s-1)+\delta(s+1)))*\frac{1}{1 + s^{4}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1+(s-1)^4} + \frac{1}{1+(s+1)^4})$$
Antes de algunos comentarios que agregan algunos antecedentes al enfoque muy eficiente de @ SHW, puede valer la pena dar un argumento (¡icónico!) Que sea más fácil de justificar:
Dado que el coseno es una combinación lineal de exponenciales complejos, es suficiente para evaluar $\int_{-\infty}^\infty { e^{itx}\over 1+x^4 }dx$ de verdad $t$. Hay dos casos, dependiendo del signo de$t$. por$t\ge 0$, la función $z\to e^{itz}$está limitado en el semiplano superior . Así, como$R\to +\infty$, la integral de $e^{itz}/(1+z^4)$ sobre un semicírculo en el semiplano superior, de radio $R$, va a $0$, mediante estimaciones fáciles. La integral sobre ese arco auxiliar, junto con la integral a lo largo$[-R,R]$ en la línea real, es $2\pi i$multiplicado por la suma de los residuos dentro del contorno cerrado resultante. Estos ocurren exactamente en$z=e^{2\pi i/8}$ y en $z=e^{2\pi i\cdot 3/8}$...
por $t\le 0$, debemos usar un arco en el semiplano inferior, en cambio, porque ahí es donde $z\to e^{itz}$ está acotado, de modo que la integral sobre el arco auxiliar va a $0$, y el teorema del residuo se aplica fácilmente.
La conversión de productos a convoluciones por transformada de Fourier es a menudo una muy buena heurística, en la medida en que empaqueta de manera útil ciertos cálculos estándar. Pero sí, existen algunos peligros, especialmente al delinear los límites de aplicabilidad de las ideas. Para empezar, sí, cómo calcular las transformadas de Fourier de funciones como$e^{iz}$ o $\cos(z)$, cuando las integrales no convergen en absoluto? Así, un sentido amplio no (demostrable) dan respuestas auto-consistente (tal como se utiliza en la discusión de @ SHW), ya veces da una ruta computacional más económico.
Algunos de los peligros potenciales incluyen el cálculo de convoluciones para funciones no clásicas, es decir, no definidas puntualmente, ya que las integrales no pueden ser integrales literales. Otro peligro es la asociatividad de la convolución: definitivamente falla incluso en situaciones aparentemente mundanas, como la icónica$$ (1*\delta')*H \;=\; 0 * H \;=\; 0\;\not=\; 1\;=\; 1 * \delta \;=\; 1 * (\delta' * H) $$ dónde $1$ es la función idénticamente una y $H$ es la función escalonada de Heaviside.
EDITAR: una lista no exhaustiva de situaciones en las que la transformada de Fourier convierte productos en convoluciones:
Para las funciones de Schwartz (asignadas a sí mismas mediante la transformada de Fourier), esta propiedad se mantiene y tenemos asociatividad. Más allá de este caso, las cosas no pueden permanecer enteramente simétricas. Por ejemplo, en el contraejemplo icónico, todas las distribuciones están templadas, por lo que tienen transformadas de Fourier. Un obstáculo que podríamos anticipar es que si$f,g$ no se pueden multiplicar puntualmente, lo que podría ocurrir en parte porque no tienen valores puntuales, entonces $fg$ puede que no sea algo de lo que podamos tomar una transformada de Fourier en primer lugar.
Otro tema que presenta algunas limitaciones es la extensión de la definición de convolución (no solo "una definición", sino interactuando razonablemente con otras operaciones). Y no puede ser completamente simétrico, a la luz del icónico contraejemplo. Una extensión válida es tener distribuciones con soporte compacto$u$ actuar en funciones suaves $f$ por $(u*f)(x)=u(T_xf)$ dónde $T_x$ es la traducción por $x$. De hecho, esto da otra función suave como resultado. Entonces hay probablemente una "convolución" de distribuciones con soporte compacto tal que para todas las$f$ tenemos $(u*v)*f=u*(v*f)$. De hecho, podría ser mejor usar una notación diferente para la acción , para aclarar la falta de simetría: escriba$u\cdot f$... luego $(u*v)\cdot f=u\cdot (v\cdot f)$.
A partir de los resultados de tipo Paley-Wiener, sabemos que las transformadas de Fourier de ciertas funciones son distribuciones con soporte compacto. Más típicamente, comenzamos con distribuciones muy tangibles con soporte compacto y tenemos alguna forma ad-hoc conveniente para calcular sus transformadas de Fourier (aparte de la integral obvia, que normalmente no tendría sentido).
Entonces, como indican algunas fuentes clásicas, una restricción para querer asociatividad de convolución es que al menos dos de los elementos involucrados deben ser compatibles de manera compacta. Esta aparente asimetría es genuina: como en el párrafo anterior, "en realidad" las cosas con soporte compacto actúan sobre no con soporte compacto, en muchos casos donde las cosas con soporte no compacto no actúan razonablemente.