Diagramas de nudos no alternos
Comience con una curva cerrada que se interseque a sí misma, donde todos los cruces sean transversales. Ahora forme algo como lo opuesto a un diagrama de nudos alternos de la siguiente manera. Comenzando en cualquier lugar, atraviese la curva y, en cada cruce no visitado anteriormente, pase por encima. Si el cruce ha sido visitado previamente, deje la designación de cruce asignada.
A continuación se muestran dos ejemplos. (a) es claramente el desanudado. (b) es también el desatado, quizás no tan obviamente.
El círculo rojo indica el punto de partida, la flecha la dirección transversal.
Esperaba que estos diagramas representaran obviamente el desatado, pero no veo una prueba clara. Asi que:
P. _ Demostrar (o refutar) que tal diagrama de nudo siempre representa el desanudado.
Respuestas
Un diagrama como el que usted describe se denomina diagrama descendente y, de hecho, siempre da como resultado el nudo trivial. Para una demostración, véase el Lema 3.2.10 dehttp://www.math.ucsd.edu/~justin/Roberts-Knotes-Jan2015.pdf. La respuesta anterior tiene la idea correcta.
Este es el siempre el unknot. Mi asesor me presentó esto, pero tampoco creo que sea su argumento original, así que no sé quién lo hizo primero.
Para ver esto, usaremos el hecho de que el número de puente de un nudo es uno si y solo si el nudo es el desanudado.
Dibuja tu proyección del nudo y elige tu punto de partida. Convertiremos esta proyección en un diagrama haciendo solo cruces a medida que atravesamos la proyección. Si la proyección se dibuja en el$x,y$avion donde$z=0$, podemos crear un nudo en$\mathbb{R}^3$haciendo cada$i$-th nuevo cruce al que llegamos a nivel$z=i$. Por lo tanto, cuando nos hayamos encontrado con todos los cruces en la proyección y estemos a punto de regresar al primer cruce, nuestro nudo en 3 espacios debe retroceder desde algún punto alto.$z$valor de vuelta a$z=0$.
Lo que tenemos es una función de altura en la que el nudo aumenta estrictamente en todas partes, excepto en el pequeño segmento entre el último cruce y el primer cruce. Así, hay un máximo y un mínimo y por lo tanto un nudo número 1 de puente, el desnudo.
No estoy seguro de cuán útil, ya que no soy un experto, pero aquí hay una idea que podría ser correcta.
Primero, introduzca la tercera dimensión, perpendicular a su dibujo, y asegúrese de que el punto "inicial" sea una proyección de un segmento que va directamente "hacia arriba". Luego, debe ser posible colocar el resto del nudo de modo que, al ir a lo largo de la línea, solo baje. Imagina un helter skelter (con una escalera casi vertical subiendo), y tendrás una buena idea de lo que quiero decir. Ahora, esto es un poco ondulado, pero creo que puede asignar alturas fijas a cada una de las intersecciones, a medida que las atraviesa en el camino "hacia abajo", y luego extenderse a todos los demás puntos en el nudo. (Por ejemplo, si la parte de la "escalera" se eleva desde la altura$0$a$1$, por$n$intersecciones, como pasas dos veces por cada una, puedes reservar las alturas$\frac{k}{2n+1}, k=1,2,\ldots,2n$para los puntos de "intersección" en el nudo.)
El resto debe ser el cálculo simple para mostrar que este nudo se puede deformar en unknot. Si la ecuación del nudo original (la parte "deslizante") se parametriza como$(\rho(t)\cos\phi(t),\rho(t)\sin\phi(t),1-t), t\in[0,1]$, con$\rho(0)=\rho(1)=0$, luego deformarlo, por$\lambda\in[0,1]$dentro$(\rho(t)\cos\lambda\phi(t),\rho(t)\sin\lambda\phi(t),1-t)$.$\lambda=1$da el nudo original, mientras que$\lambda=0$da un desenlace obvio en$x-z$plano.