Dimensión de la fibra

Question

Dejar $f:X\rightarrow Y$ ser un morfismo sobreyectivo de esquemas algebraicos (sobre un campo algebraicamente cerrado $F$ de característica $0$). Creo que en buenos casos$X$ y $Y$ irreductible) tenemos que cada por cada $y$ en $Y$ la dimensión de la fibra $f^{-1}(y)$ Por lo menos $\dim X-\dim Y$. ¿Qué sucede si dejamos de lado el supuesto de irreductibilidad? ¿Son los contraejemplos de este límite inferior para la dimensión de$f^{-1}(y)$?

Answer 1

Si, si no lo requiere $Y$ para ser irreductible, este límite puede violarse.

El ejemplo más barato es tomar $f: X \rightarrow Y$ sobreyectiva de cualquier dimensión relativa que desee, más grande que $0$, dejar $X'$ y $Y'$ ser la unión disjunta de cada uno de ellos con un punto, y definir $f'$ A igual $f$ en $X$ y para mapear el nuevo punto en $X$ al nuevo punto en $Y$.

Si necesita conexión, puede hacer algo similar, ahora adjuntando una línea transversalmente a $X$ en algún momento $x$ y otra linea para $Y$ a $f(x)$y extendiendo $f$ mapeando la línea a la línea isomórficamente.

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Con un poco más de manipulación, también podemos cocinar un ejemplo donde $Y$ es irreducible, como sigue.

Dejar $Y=\mathbf A^1$, dejar $Z \subset \mathbf A^2$ ser definido por $xy=1$, y deja $q:Z \rightarrow Y$sea ​​la proyección sobre, por ejemplo, el primer factor. Este mapa es un isomorfismo en el conjunto abierto$Y \setminus \{0\}$.

Ahora deja $W=Z \times \mathbf A^1 \subset \mathbf A^3$. Entonces el mapa de proyección$W \rightarrow Y$ tiene fibras unidimensionales en cada punto $y \neq 0$, mientras que la fibra sobre $0$ esta vacio.

Finalmente deja $L$ ser el eje $\{(t,0,0) \mid t \in k \} \subset \mathbf A^3$, y deja $X=W \cup L \subset \mathbf A^3$. Entonces la proyección$X \rightarrow Y$ es sobreyectiva, con fibras unidimensionales sobre cada $y \neq 0$y fibra de dimensión 0 sobre $0 \in Y$.