Dirac delta y una composición de funciones

Question

Estoy trabajando en una integral que tiene un delta de Dirac, y normalmente estoy bien con ellos, pero esta vez tengo el delta de Dirac emparejado con una composición de funciones.

La integral es,

$$ \int dx \delta(x-x_0)\cos (\phi(x,t)). $$

Puede que esté demasiado pensando en esto y la respuesta es solo $\cos(\phi(x_0,t))$, pero no puedo encontrar ninguna referencia sobre si existe o no alguna regla especial para esta situación.

¿Alguien me puede apuntar en la dirección correcta?

Answer 1

Supongamos que tenemos el $2$-función delta variable $\delta(x,y)$ y un $2$-función variable $f(x,y)$, luego:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\delta(x-x_0,y-y_0) \ dx dy = f(x_0,y_0).$$

Esto da la misma respuesta si se integra con respecto a $x$ o $y$primero. En efecto:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\delta(x-x_0,y-y_0) \ dy dx = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y_0)\delta(x-x_0)dx=f(x_0,y_0)$$

y de manera similar cuando integra wrt a $x$ primero.

Así tenemos:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)f(x,t)dx=f(x_0,t)$$

para todos $x_0 \in \mathbb R.$