Discreto profesional. distribución: binomial
Sabemos que para una distribución binomial, cuando queremos saber cuántos de los resultados de un evento han ocurrido en lugar de usar un diagrama de árbol, podemos usar selecciones o combinaciones. Por ejemplo, supongamos que una variable aleatoria X representa el número de caras después de lanzar una moneda tres veces y queremos saber el problema. de cabezas saliendo una vez.
Diríamos, Pr(X=1)= 3C1 veces ... prob. de tiempos de éxito prob. de fracaso
Porque sabemos que hay tres formas en las que podemos elegir una cabeza. Del diagrama de árbol: HNN, NNH, NHN. H= cara, N= Sin cara.
Mi pregunta es por qué es correcto usar combinaciones cuando está claro que no usamos combinaciones para cosas donde el orden importa. Aquí podemos ver que debido a que estos HNN, NNH, NHN son cosas diferentes que contienen el mismo elemento de una cabeza y dos cabezas, está claro que el orden sí importa. ¿Por qué no podemos usar permutaciones en su lugar?
Respuestas
Las permutaciones cuentan arreglos de objetos distintos . Los elementos de una secuencia de caras y cruces no pueden ser distintos si la secuencia tiene una longitud superior a dos.
Por ejemplo, el número de permutaciones de las letras de la palabra CONTAR, que tiene cinco letras distintas, es$$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = P(5, 5)$$y el número de permutaciones de tres letras de las letras de la palabra COUNT es$$5 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5!}{2!} = \frac{5!}{(5 - 3)!} = P(5, 2)$$
Por otra parte, el número de permutaciones distinguibles de las letras de la palabra DISTRIBUCIÓN, en las que no todas las letras son distintas, es$$\binom{12}{3}\binom{9}{2}7! = \frac{12!}{3!9!} \cdot \frac{9!}{2!7!} \cdot 7! = \frac{12!}{3!2!}$$ya que debemos elegir tres de las doce posiciones para los Is, dos de las siete posiciones restantes para los Ts, y luego disponer las siete letras distintas D, S, R, B, U, O, N en las siete posiciones restantes. el factor de$3!$en el denominador representa el número de formas en que podríamos permutar los I entre sí dentro de un arreglo dado sin producir un arreglo que sea distinguible del arreglo dado; el factor de$2!$en el denominador representa el número de formas en que podríamos permutar los T entre sí dentro de un arreglo dado sin producir un arreglo que se distinga del arreglo dado.
En su ejemplo, usamos combinaciones ya que una secuencia de caras y cruces se determina completamente seleccionando las posiciones de las caras, ya que las posiciones restantes de la secuencia deben llenarse con cruces.
En general, en un problema de distribución binomial, definimos uno de los resultados como un éxito y el otro como un fracaso. La probabilidad de obtener exactamente$k$éxitos en$n$ensayos, cada uno con probabilidad$p$del exito es$$\Pr(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$$dónde$p^k$es la probabilidad de$k$éxitos,$(1 - p)^{n - k}$es la probabilidad de$n - k$fallas, y$\binom{n}{k}$cuenta el número de formas en que esos$k$Los éxitos pueden ocurrir en$n$juicios Observe que elegir cuál$k$del$n$las pruebas son éxitos determina completamente los resultados si hay exactamente$k$éxitos desde el resto$n - k$las pruebas deben resultar en fracasos.