Distribución uniforme de una variable aleatoria

Question

Suponga que una caja contiene una bola amarilla y una bola azul. Cada vez que se selecciona una bola, se coloca otra bola del mismo color en la caja. Suponer$20$se seleccionan las bolas. Dejar$Y$ser la variable aleatoria que representa el número de bolas amarillas. Muestra esa$Y$ se distribuye uniformemente con densidad $f$ dada por $f(y) = P(Y = y) = \frac{1}{21}.$

Para el caso de una bola amarilla, tenemos $$f(1) = \frac{1}2\cdot \frac{2}3\cdot \cdots \cdot \frac{20}{21} = \frac{1}{21}.$$Para dos bolas amarillas, solo necesitamos seleccionar una bola amarilla una vez de los veinte sorteos. Si lo seleccionamos la primera vez, obtenemos una probabilidad de$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{4} \cdots \cdot \frac{19}{21} = \frac{18}{20}\cdot \frac{1}{21}.$$Si no lo seleccionamos la primera vez, pero lo seleccionamos la segunda vez, la probabilidad es la misma. No estoy seguro de cómo generalizar esta probabilidad. Podría ser útil considerar invariantes, pero en mi caso no estoy seguro de qué probabilidades serían invariantes.

Answer 1

El número $20$ no debería ser muy especial, así que demostrémoslo $n$sorteos. Dejar$P_n(y)$ ser la probabilidad de que haya $y$ bolas amarillas despues $n$sorteos. Demostraremos por inducción que$P_n(y)=\frac{1}{n+1}$ para $y=1,\ldots,n+1$ y $0$de otra manera. Es fácil comprobar que$P_1(1)=\frac{1}{2}$ y $P_2(2)=\frac{1}{2}$. Ahora suponga que después$n$ sorteos $P_n(y)=\frac{1}{n+1}$. Solo podemos tener$y$ bolas amarillas después del próximo sorteo si tuviéramos $y$ bolas previamente y sacar una bola azul o si tuviéramos $y-1$ bolas previamente y sacar una bola amarilla (suponiendo $y\neq 1$, ya que nunca podremos tener $0$bolas amarillas, pero te dejo que revises este caso). Entonces,$P_{n+1}(y)=P_n(y)\cdot P(B)+P_n(y-1)\cdot P(Y)$ dónde $B$ y $Y$ son los eventos de sacar una bola azul o amarilla si el número de bolas amarillas es $y$ o $y-1$ después $n$sorteos. Ahora$P(B)=\frac{(n+2)-y}{n+2}$ desde despues $n$ sorteos hay $n+2$ bolas y $P(Y)=\frac{y-1}{n+2}$. Poniendo esto junto$$P_{n+1}(y)=\frac{1}{n+1}\frac{n+2 -y }{n+2}+\frac{1}{n+1}\frac{y-1}{n+2}=\frac{1}{n+2}$$ entonces el resultado sigue por inducción.