¿Ejemplos de conductor en T?

Question

Estoy luchando por comprender el concepto de un conductor T en álgebra lineal. Conozco la definición, pero algunos ejemplos serían útiles.

Definición. Dejar$W$ ser un subespacio invariante para $T$ y deja $\alpha$ ser un vector en $V$. los$T$-conductor de $\alpha$ dentro $W$ es el set $S_T(\alpha;W)$, que consta de todos los polinomios $g$ (sobre el campo escalar) tal que $g(T)\alpha$ es en $W$. (pág.201, sección 6.4)

Necesito algunos ejemplos de conductor en T

Gracias de antemano

Answer 1

He aquí un ejemplo. Dejar$T:\Bbb C^4 \to \Bbb C^4$ ser la transformación asociada con la matriz en forma de Jordan $$ \pmatrix{\mu&1&0&0\\0&\mu&0&0\\ 0&0&\lambda&1\\0&0&0&\lambda}. $$ Dejar $W$ denotar el subespacio generado por el vector $e_1 = (1,0,0,0)$. Dejar$e_1,\dots,e_4$ denotar la base estándar de $\Bbb C^n$. Ahora describimos$S_T(\alpha;W)$ para varios vectores diferentes $\alpha$:

• Xa $\alpha = e_2$, $S_T(\alpha;W)$ es el conjunto de polinomios divisible por $p(t) = (t-\mu)$
• Xa $\alpha = e_3$, $S_T(\alpha;W)$ es el conjunto de polinomios divisible por $p(t) = (t-\lambda)(t-\mu)$
• Para cualquier $\alpha$ fuera del lapso de $\{e_1,e_2,e_3\}$, $S_T(\alpha;W)$ es el conjunto de polinomios divisible por $(t-\mu)(t-\lambda)^2$.
• Para cualquier $\alpha \in W$, $S_T(\alpha;W)$es el conjunto de todos los polinomios
• Para cualquier $v \in \Bbb C^4$ y $\alpha = e_1 + v$, $S_T(\alpha;W) = S_T(v;W)$