Ejercicio sobre Schwarz Lemma

Question

Este es un ejercicio sobre el Lema de Schwarz:

Dejar $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ ser un dominio simplemente conectado y $z_0 \in \Omega \neq \mathbb{C}$. Además, deja$f, g: \Omega \to \Omega$ biholomórfico tal que

\begin{align} f(z_0) = g(z_0), \qquad f'(z_0) = g'(z_0). \end{align}

Prueba de que $f = g$.

La sugerencia establece que se debe utilizar el lema de Schwarz y el teorema de mapeo de Riemann. De hecho, más tarde solo me permite usar el Lema de Schwarz (en este caso). ¿Podría alguien darme una (segunda) pista adecuada sobre cómo usar el Lema de Schwarz para mostrar que$f = g$? ¿Debería considerar usar$h:= f-g$?

Answer 1

Ya que $\Omega\subsetneq\Bbb C$ está simplemente conectado, entonces por el teorema de mapeo de Riemann sabemos que existe $h:\Omega\to\Delta$ biholomórfico tal que $h(z_0)=0,\; h'(z_0)\neq0$, dónde $\Delta$ es el disco de la unidad abierta.

Considere entonces $$ F:=h\circ g^{-1}\circ f\circ h^{-1}\colon\Delta\to\Delta $$ que es un biholomorfismo tal que $F(0)=0$ y $|F(z)|<1$ en conjunto $\Delta$; así por Schwartz Lemma obtenemos\begin{align*} &|F(z)|\le|z|\;\;\forall z\in\Delta. \end{align*} Schwartz se aplica a $F^{-1}$ además de permitirnos lograr $|F^{-1}(w)|\le|w|\;\;\forall w \in\Delta$.

Dado que cada $w\in\Delta$ Se puede escribir como $F(z)$ por un único $z\in\Delta$, obtenemos

$$ |z|\le|F(z)|\;\;\; \forall w\in\Delta $$ y por lo tanto $$ |F(z)|=|z|\;\;\forall z\in\Delta. $$ Entonces Schwarz implica $F(z)=az$ para algunos $a\in\Bbb C,\;|a|=1$.

Tomando la derivada de este último en $0$ uno y explotando tu hipotesis en $f$ y $g$, tu consigues eso $a=1$ y por lo tanto $f=g$.

Answer 2

Sugerencia: cualquier mapa bi-holomórfico del disco unitario $U$ sobre sí mismo tiene la forma $z \to e^{i\theta} \frac {z-a}{1-\overline a z}$ dónde $|a|<1$ y $\theta \in \mathbb R$. Si dos de estos mapas tienen el mismo valor y la misma derivada en algún punto, entonces los valores de$\theta$ y $a$coinciden y las funciones son, por tanto, iguales. Ahora aplique RMP para demostrar lo mismo para cualquier región simplemente conectada$\Omega$ otro que $\mathbb C$.