¿El operador acotado autoadjunto con espectro finito implica diagonalizable?

Question

Dejar $T$ ser un operador acotado autoadjunto en un espacio de Hilbert de dimensión no necesariamente finita.

Suponer $T$tiene un espectro finito. ¿De ello se sigue que los elementos del espectro son valores propios y el operador es diagonizable?

Answer 1

Sí, puede calcular la proyección espectral para cada valor propio $\lambda$ integrando el resolutivo en un pequeño contorno alrededor $\lambda$ que evita todos los demás valores propios $$P_\lambda = \frac{1}{2\pi i} \int_C (T-z I)^{-1} \, dz.$$El espacio de Hilbert será entonces la suma directa de los subespacios espectrales correspondientes a las proyecciones espectrales. Los elementos aislados del espectro son siempre valores propios.

Answer 2

Dado que esto también tiene la etiqueta "C$^*$-algebras ", responderé en ese escenario. Si $\sigma(T)=\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$, podemos construir funciones continuas (polinomios, pares) $f_1,\ldots,f_n$ con $f_k(\lambda_j)=\delta_{kj}$. Luego$\sum_k\lambda_kf_k(t)=t$y el cálculo funcional nos da $$ T=\sum_k\lambda_kf_k(T), $$ dónde $f_1(T),\ldots,f_n(T)$ son proyecciones ortogonales por pares.