$\ell^1$ functor como adjunto izquierdo al functor de bola de unidad
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https://mathoverflow.net/a/38755/1106
Yemon Choi señala que "El $\ell^1$ functor es el functor de espacio de Banach libre, adjunto al functor de bola de la unidad olvidadiza ".
Esta afirmación me intriga, pero no estoy muy seguro de qué categorías y functores está hablando Yemon aquí. Me imagino que tenemos la categoría de espacios de Banach (¿con qué mapas?) De un lado, pero ¿y del otro? Si alguien puede completar los detalles aquí, estaría muy complacido. Además, si alguien tiene referencias a un texto de análisis funcional que adopte esta perspectiva, también me complacería esa respuesta.
Respuestas
Quieres tomar la categoría $\text{Ban}_1$de espacios de Banach y mapas cortos (mapas lineales de norma de operador$\le 1$). El functor de la bola de la unidad$U : \text{Ban}_1 \to \text{Set}$ está representado por $\mathbb{C}$, y su adjunto izquierdo envía un conjunto $S$ al coproducto de $S$ Copias de $\mathbb{C}$, que resulta ser $\ell^1(S)$. Esto dice que tenemos una biyección natural.
$$\text{Hom}_{\text{Ban}_1}(\ell^1(S), B) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(S, U(B))$$
que dice que un mapa de un conjunto $S$ a la bola de la unidad $U(B)$ de un espacio de Banach se extiende única y libremente a un pequeño mapa $\ell^1(S) \to B$, por "linealidad".
Intuitivamente hablando, esto dice que $\ell^1(S)$ se obtiene de $S$ al exigir que cada elemento de $S$ tener norma $1$ (para que esté en la bola de la unidad y pueda mapear en breve a cualquier otro elemento de cualquier otra bola de la unidad) y luego pedir que una combinación lineal $\sum c_s s$tener la mayor norma posible compatible con esto (de modo que pueda mapear en breve a cualquier otra combinación lineal similar en cualquier otro espacio de Banach). Tenemos$ \| \sum c_s s \| \le \sum |c_s|$ por la desigualdad del triángulo y el $\ell^1$ La norma es el caso de igualdad de este.
Esta construcción se generaliza a la construcción del coproducto en $\text{Ban}_1$, que se ve así: si $B_i$ es una colección de espacios Banach, su coproducto en $\text{Ban}_1$ es la finalización de la suma directa del espacio vectorial $\bigoplus_i B_i$ Con respeto a "$\ell^1$ norma" $\sum_i \| b_i \|_{B_i}$.
Disculpas por la autopromoción, pero entro en un poco más de detalle sobre las propiedades categóricas de $\text{Ban}_1$(por ejemplo, es monoidal simétrico completo, cocompleto y cerrado) en mi publicación de blog, espacios de Banach (y métricas de Lawvere, y categorías cerradas) . En particular, intento motivar el uso de mapas cortos. Tenga en cuenta que si solo trabajamos con mapas lineales acotados, no podemos esperar recuperar un espacio de Banach hasta la isometría a través de una propiedad universal, mientras que los isomorfismos en$\text{Ban}_1$son isométricas. Por otro lado, el lenguaje categórico todavía es capaz de hablar de mapas acotados, a través de la estructura cerrada.
Sea Bang (Ban, geométrico) la categoría cuyos objetos son espacios de Banach y cuyos morfismos son los mapas lineales que tienen norma $\leq 1$. (Podemos trabajar sobre escalares reales o complejos). Sea Set la categoría cuyos objetos son conjuntos y cuyos morfismos son funciones.$\newcommand{\Ball}{{\sf ball}}$
Hay un functor $\Ball$de Bang a Set que asigna a cada espacio de Banach su unidad de bola cerrada; la condición de los morfismos de Bang asegura que cada$f:X\to Y$ en Bang se restringe a una función $\Ball(X) \to \Ball(Y)$.
¿Qué sería un adjunto izquierdo a $\Ball$¿parece? Podemos usar la descripción / caracterización en términos de objetos iniciales en categorías de coma. Entonces para cada juego$S$ queremos un espacio Banach $F(S)$ y una función $\eta_S: S \to\Ball(F(S))$ con la siguiente propiedad universal: siempre que $E$ es un espacio de Banach y $h:S\to \Ball(E)$ es una función, hay un morfismo Bang único $T: F(S)\to \Ball(E)$ tal que $\Ball(T)\circ\eta_S=f$ como funciones.
Desentrañar las definiciones de los diversos morfismos: lo que necesitamos es que para cualquier función $h$ de $S$ a $E$ satisfactorio $\Vert h(j)\Vert \leq 1$ para todos $j\in S$, debe haber un mapa lineal único $T: F(S) \to E$ tal que $\Vert T(v)\Vert \leq \Vert v\Vert$ para todos $v\in F(S)$ y $T(\eta_S(j))=h(j)$ para todos $j\in S$.
Habiendo intentado motivar las cosas, hagamos el Ansatz . Definir$F(S)$ ser el espacio Banach $\ell_1(S)$ con su norma habitual $\Vert\quad\Vert_1$; dejar$(e_j)_{j\in S}$ denotar la base canónica bectors en $\ell_1(S)$. El único candidato posible para el mapa lineal$T:\ell_1(S) \to E$ es: definir $T(e_j):= h(j)$ para cada $j$, y se extienden por linealidad y continuidad. Para ver que esto funciona, observe que para cualquier$v=\sum_{j\in S} \lambda_j e_j \in \ell_1(S)$ tenemos
$$ \Vert \sum_{j\in S} \lambda_j h(j) \Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \Vert h(j)\Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \sup_{j\in S} \Vert h(j)\Vert \leq \Vert v \vert_1 $$
Resumiendo: esencialmente lo que dice el argumento anterior es que un mapa lineal acotado de $\ell_1(S)$ a un espacio de Banach $E$ define una función acotada $S\to E$y que, a la inversa, toda función limitada $S\to E$ tiene una extensión lineal limitada única $\ell_1(S)\to E$. (Tenga en cuenta que este párrafo, que se establece en lenguaje analista en lugar de lenguaje categorista, es un poco más general porque no estoy exigiendo que todo tenga una norma$\leq 1$; pero restringirse a Bang parece esencial si uno quiere obtener una buena declaración de este análisis-hecho en el lenguaje de los adjuntos).
De hecho, podemos ir más allá y decir que el isomorfismo adjunto $Set(S, \Ball(E)) \cong {\rm Bang}(\ell_1(S),E)$, que a priori es solo una biyección de conjuntos de comportamiento natural, puede enriquecerse a un isomorfismo en Bang: $\ell_\infty(S;E) \cong {\mathcal B}(\ell_1(S),E)$.
Este es el ejercicio 20 , en la página 167 de Conferencias y ejercicios sobre análisis funcional de Helemskii .
Jiří Rosický lleva a cabo una discusión más amplia en Are Banach spaces monadic? , arXiv: 2011.07543 .