Encuentra máximo / mínimo global sobre un área rectangular
Encuentre todos los puntos máximos / mínimos globales de esta función:
$$f(x,y) = (x-3)^2 + (y-4)^2 + 100$$
En un rectángulo con vértices:
$$(-2,-1), (3,-1), (-2,1) , (3,1)$$
Intenté dibujar este rectángulo y lo conseguí:
$$ [-2,3] \times [-1, 1] $$
Calculé las derivadas parciales:
$f_x = 2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 3$
$f_y = 2(y-4) = 0 \Rightarrow y = 4$
Y entonces entendí que el único punto es $(3,4)$
¿Cuál no está en el rectángulo ... entonces no hay puntos máximos / mínimos globales? Siento que este es un enfoque incorrecto, ¡agradecería su ayuda!
¡Gracias!
Respuestas
Encontrar puntos donde $f_x = 0$ y $f_y = 0$le da todos los extremos locales en el interior de la región$[-2, 3] \times [-1, 1]$, es decir, el rectángulo abierto $(-2, 3) \times (-1, 1)$. Lo que ha demostrado es que no hay extremos locales en el interior. Sin embargo, todavía puede haber máximos / mínimos en el límite del rectángulo. (De hecho, porque$[-2, 3] \times [-1, 1]$ es compacto, el análisis nos dice que podemos encontrar un máximo y un mínimo globales).
Para encontrar estos máximos y mínimos globales, debe observar qué valores $f$ toma el límite del rectángulo $[-2, 3] \times [-1, 1]$. ¿Cuándo es más pequeño / más grande?
Por ejemplo, primero podríamos mirar el borde inferior del rectángulo. Este es el conjunto de puntos$\{ (a, -1): a \in [-2, 3] \}$. En esta región nuestra función$f$ toma los valores
$$f(x, -1) = (x- 3)^2 + (-1 - 4)^2 + 100 = x^2 - 6x^2 + 134$$
ya que $y$ es siempre $-1$en el borde inferior del rectángulo. A partir de aquí, puede utilizar el cálculo de una sola variable para calcular los valores de$x$ en $[-2, 3]$ para cual $f$ es mínimo / máximo.
Luego, haz lo mismo con los otros lados.
(Editar: así como tienes que comprobar los bordes del rectángulo además de su interior, tienes que comprobar los "bordes" de los lados (es decir, las cuatro esquinas) además de los lados mismos. En otras palabras, no No olvide calcular f en cada una de las cuatro esquinas y ver si da un punto extremo.)
El hecho de que el punto que encontró no está en el rectángulo significa que, si mira la función general, el punto máximo / mínimo no está en el rectángulo. Sin embargo, estamos viendo solo una pequeña región de la función, la que está delimitada por el rectángulo.
Si puede imaginar la gráfica de cualquier función limitada por ese rectángulo, notará que ciertamente tiene un máximo y un mínimo en algún lugar del borde. En el cálculo de una sola variable, esto se explica por el teorema del valor extremo.
Entonces, debes encontrar los puntos máximo y mínimo de las cuatro líneas que resultan de la intersección de la función y los planos y = 1, y = -1, x = -2 yx = 3. Estos planos son la extensión de los lados del rectángulo.
Si tiene más preguntas, me complacerá ayudarlo.
Estás en el caso clásico en el que los extremos están situados en el borde, por lo tanto, no sirve de nada aniquilar las derivadas parciales.
Piense geométricamente: su problema tiene que ver con la intersección de un paraboloide $P$ cuyo ápice está en $(3,4,100)$ y eje definido por $x=3,y=4$ y una caja $B$ cuya intersección con el plano Oxy es la que has encontrado.
Observación: La intersección $I=B \cap P$ es una unión de arcos parabólicos.
El punto más bajo de I estará a lo largo del eje vertical. $(x=3, y=1)$(que es el más cercano al eje de P). Reemplaza estos valores en la ecuación para obtener$z_{min}=109$.
El punto más alto de I se obtendrá en el borde vertical de la caja que está más alejado del eje de P, es decir, con coordenadas $(x=-2,y=-1)$. Una vez más, inserte estos valores en la ecuación para obtener$z_{max}=150$.