Es $A \rightarrow \mathcal{P}(A)$inyectivo cuando $A = \{\}$?

Question

Es$A \rightarrow \mathcal{P}(A)$inyectable o no?

Aquí$A = \{\}$y$\mathcal{P}(A) = \{\{\}\}$.

Usando la definición de función inyectiva: Una función es$f : X \rightarrow Y ; \forall x \in X, \forall y \in X, (f(x) = f(y) \implies x = y)$

Usando la definición de conjunto potencia: conjunto que contiene todos los subconjuntos del conjunto

Me pregunto si esto es vacuamente cierto porque$f \subset A \times \mathcal{P}(A)$el producto cartesiano con conjunto vacío es él mismo. Por lo tanto es inyectivo.

¿Es correcto o estoy equivocado, cómo solucionarlo.

Answer 1

Normalmente cuando quieres preguntar si una función$f: A \to Y$es inyectivo, necesita especificar la función. Por ejemplo, la pregunta "¿es$f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$inyectiva?" no es una buena pregunta, porque depende de$f$. Es decir,$f(x) = x$es inyectiva (la inclusión obvia), pero$f(x) = 0$no es (un mapa constante).

Dicho esto, porque quieres$A$para estar vacío, su pregunta está realmente bien definida. Eso es porque para cualquier conjunto$Y$solo hay una funcion$\emptyset \to Y$. Esa es la función vacía, llamémosla$e$.

Como se menciona en los comentarios, la función vacía siempre es inyectiva. Tenemos que comprobar si para todos$x$y$y$en el dominio tenemos que$e(x) = e(y)$implica$x = y$. Bueno, no hay mucho que comprobar, de hecho, ¡no tenemos nada que comprobar! Entonces, esa declaración es automáticamente verdadera porque no hay nada que verificar, lo llamamos vacuamente verdadero .

El argumento anterior funciona para cualquier conjunto$Y$, por lo que en particular para$Y = \mathcal{P}(\emptyset)$.