Es $\frac{u}{|u|}$1- Lipschitz?

Question

Quiero probar que la aplicación$\{s\in \mathbb{R}^3:|s|\geq 1\} \to S^2 ,u\mapsto \frac{u}{|u|}$es Lipschitz con constante$1$. Si agrego ($\frac{u|u|-u|u}{|u||v|}|$), encuentro la constante igual$2$(la norma utilizada es la norma euclidiana). No lo es$1$-¿Lipschitz?

Gracias

Answer 1

Está$1-$Lipschitz.$|\frac u {|u|} -\frac v {|v|}|^{2}=1+1-2\frac {u.v} {|u||v|}$y$|u-v|^{2}=|u|^{2}+|v|^{2}-2u.v$o$2(u.v) (1-\frac 1 {|u||v|}) \leq |u|^{2}+|v|^{2} -2$. Aplicando la desigualdad CS, la propiedad de Lipschitz se reduce a$2ab(1-\frac 1 {ab}) \leq a^{2}+b^{2}-2$donde$a=|u|$y$b=|b|$y esto se reduce a$(a-b)^{2} \geq 0$cual es verdad.

Answer 2

Una prueba usando proyección en conjuntos convexos

$B_3$la bola unitaria cerrada de$\mathbb R^3$es un subconjunto convexo cerrado. El resultado solicitado consiste en probar que la proyección sobre$S^2$de puntos en$\mathbb R^3 \setminus B_3$se está contrayendo.

Una prueba se puede encontrar aquí .

Puede imitar esa prueba en su caso especial si lo desea.

Answer 3

Prueba geométrica usando el teorema de la intersección

Supongamos sin pérdida de generalidad que$1 \le \vert u \vert \le \vert v \vert$y denota$v^\prime = v \frac{\vert u \vert}{\vert v \vert}$. Darse cuenta de$\vert v^\prime \vert = \vert u \vert$.

Usando el teorema de intersección para los triángulos$0 \ \frac{u}{\vert u \vert }\ \frac{v}{\vert v \vert }$y$0 \ u \ v^\prime$usted obtiene

$$\begin{aligned} \vert u - v \vert^2&= \vert u - v^\prime\vert^2 + \vert v^\prime - v\vert^2 + 2 \langle u - v^\prime, v^\prime -v \rangle\\ &\ge \vert u - v^\prime \vert^2\\&= \vert u \vert^2 \left\vert\frac u {|u|} -\frac v {|v|}\right\vert^2\\ &\ge \left\vert\frac u {|u|} -\frac v {|v|}\right\vert^2 \end{aligned}$$

$\langle u - v^\prime, v^\prime -v \rangle \ge 0$porque$\angle u v^\prime v \ge \frac{\pi}{2}$.