Es la densidad asintótica de enteros positivos $n$ satisfactorio $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ igual a cero?

Aug 18 2020

(Esta publicación es una consecuencia de esta pregunta sobre MSE ).

Dejar $\sigma(x)$ denotar la suma de los divisores de $x$. (https://oeis.org/A000203)

PREGUNTA

Es la densidad asintótica de enteros positivos $n$ satisfactorio $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ igual a cero?

Intenté buscar ejemplos y contraejemplos de la ecuación $$\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$$a través de Sage Cell Server , me dio esta salida para el siguiente script Pari-GP :

for(x=1, 100, if(gcd(x,sigma(x^2))==gcd(x^2,sigma(x^2)),print(x)))

Todos los enteros positivos de $1$ a $100$ (excepto por el entero $99$) satisfacer $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$.

Generalizando el primer (contra) ejemplo de $99$ es trivial.

Si ${3^2}\cdot{11} \parallel n$, luego $11 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ y $11^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$. Entonces la densidad asintótica en cuestión es menor que$$1-\frac{2}{3^3}\cdot\frac{10}{11^2} = \frac{3247}{3267} \approx 0.993878.$$

También si $3 \parallel n$, luego con probabilidad $1$ existen dos primos distintos $y$ y $z$ congruente con $1$ modulo $3$ tal que $y \parallel n$ y $z \parallel n$. En este caso, obtenemos$3 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ y $3^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$. Entonces la densidad asintótica en cuestión es menor que$$1-\frac{2}{3^2} = \frac{7}{9} \approx 0.\overline{777}.$$

El verdadero problema abierto es si la densidad asintótica es $0$.

Respuestas

2 AaronMeyerowitz Aug 19 2020 at 05:30

Creo que la densidad llega a cero, pero muy lentamente. Si$p \equiv 1 \bmod 6$ es primo, entonces hay dos soluciones $0<r<s<p-1$ de $$x^2+x+1=0 \bmod p$$

Si $p\parallel n$ entonces, con probabilidad $1,$ hay dos primos distintos $x $ y $ y,$ cada uno congruente con $r \bmod p,$ con $x \parallel n$ y $y \parallel n.$ (Cualquiera o ambos pueden ser congruentes con $s$ también.)

Luego $p \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ mientras $p^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2)).$ Entonces, la densidad asintótica para que esto no suceda es $1-\frac{p-1}{p^2}<1-\frac{1}{p+2}$

Si podemos argumentar que la posibilidad de que ninguno de estos eventos ocurra es asintóticamente $\prod(1-\frac{p-1}{p^2})$ sobre los primos congruentes con $1 \bmod 6,$ entonces esa densidad asintótica es $0.$