Es$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$isomorfo a$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$o$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$?

Aug 19 2020

Es$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$isomorfo a$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$o$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$?

pienso$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1) \not\cong \mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$porque el primero no es un campo ya que ($x^{2} + 2x + 1$) es reducible, pero este último es un campo ya que$(x^{2}+1)$es irreductible. ¿Es esto correcto?

No estoy seguro sobre el segundo anillo.

Respuestas

3 nesHan Aug 19 2020 at 15:31

Sí, tienes razón en lo primero. Una forma de mostrar que también$\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1) \ncong \mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$es notar que$(x+1)^2 = 0$en$\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1)$mientras que el cuadrado de cualquier elemento distinto de cero de$\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$es distinto de cero, por lo que no pueden ser isomorfos.