Es $X/R$ homeomorfo a $\mathbb R$?

Question

Considere el $X=\mathbb R\times (0, +\infty)$ dotado de la topología inducida de $\mathbb R^2$. En$X$ definir la relación de equivalencia:

$$(x_1, y_1)R(x_2, y_2)\iff x_1=x_2.$$

¿Es cierto que el cociente $X/R$ es homeomorfo a $\mathbb R$?

Yo creo que si porque si definimos $f: X\rightarrow \mathbb R$ ajuste $f(x, y)=x$ luego

$$(x_1, y_1)R(x_2, y_2)\implies f(x_1, y_1)=x_1=x_2=f(x_2, y_2)$$

entonces $f$ desciende al cociente $\widehat{f}: X/R\rightarrow \mathbb R$ por $$\widehat{f}([x, y])=x.$$

Este mapa $f$ es continuo porque si $\mathcal{U}$ está abierto en $\mathbb R$ luego

$$f^{-1}(\mathcal{U})=\mathcal{U}\times (0, +\infty)$$ está abierto en $X$. Esto implica$\widehat{f}$es continuo. Claramente$\widehat{f}$ es una biyección, pero no puedo terminar el argumento para demostrar que es un homeomorfismo.

Gracias.

Answer 1

Tienes la idea correcta, pero para ver la apertura, necesitamos identificar cuáles son los conjuntos abiertos de $X/R$ son: consta precisamente de todos los conjuntos $U\subseteq X/R$ tal que la preimagen de la proyección sobre las clases de equivalencia $X\to X/R$ Esta abierto.

Las preimágenes están dadas precisamente por conjuntos $S\subseteq X$ que están cerrados bajo esta relación de equivalencia, es decir, si $s\in S$, luego cada $s'$ con $sRs'$debe estar en S también. En otras palabras, tiene que ser la unión (incluso dividida por) clases de equivalencia. En este caso, las clases de equivalencia son de la forma$\{x\}\times (0,\infty)$. Por lo tanto, S debe tener la forma$\mathcal S\times (0,\infty)$.

Según la definición de la topología del producto, esto está abierto en $X$ si y solo si $\mathcal S\subseteq \mathbb R$ Esta abierto.

Así, el mapa $\hat f\colon X/R\to \mathbb R$ tomando $[(x,y)]=\{x\}\times (0,\infty)$ a $x$ mapea un conjunto abierto $\mathcal U\times (0,\infty)$ al set abierto $\mathcal U$, y tu estas listo.