Evaluar el límite $\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $

Question

¿Cómo evalúa este límite de secuencia utilizando el teorema de compresión / sándwich? $$\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $$

Realmente no sé por dónde empezar. He intentado utilizar el hecho de que$\lim_{n \to \infty} \left(3^n\right)^{\frac1n} = 3$ (que es la respuesta correcta) pero no sé a dónde ir desde allí.

¡Gracias!

Answer 1

Tenemos eso

$$3=(3^n)^{1/n}\le (3^n+1)^{1/n}\le (3^n+3^n)^{1/n}=3\cdot2^\frac1n$$

luego concluya con el teorema de la compresión.

Answer 2

Puedes usar $3=(3^n)^{1/n} \leq(3^n + 1)^{1/n} \leq (3^n+3^n)^{1/n}=2^{1/n}\cdot 3$

Answer 3

Con logaritmo: reescribe la expresión como $$ e^{\frac{1}{n}(\log 3^n + \log (1+\frac{1}{3^n})} $$ El primer término es $3$. El segundo tiene límites fáciles:$$ 0<\log (1+\frac{1}{3^n})<\log 2 $$ y por lo tanto, $$ 1<e^{\frac{1}{n}\log (1+\frac{1}{3^n})}<e^{\frac{\log 2}{n}} \to_n 1 $$

Answer 4

Una forma ligeramente diferente está tomando $3^n$ fuera de $(3^n+1)^{1/n}$, es decir $$ (3^n+1)^{1/n}=3(1+3^{-n})^{1/n} $$ Ahora nota que $1\leqslant 1+3^{-n}\leqslant 2$ para cada $n\in \mathbb N $, por lo tanto, tomando límites en la desigualdad llegamos a $$ 1\leqslant \lim_{n\to\infty}(1+3^{-n})^{1/n}\leqslant \lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1 $$ y entonces $$ \lim_{n\to\infty}(3^n+1)^{1/n}=\lim_{n\to\infty}3(1+3^{-n})^{1/n}=3 $$

Answer 5

Considerar $y = (3^n + 1)^\frac{1}{n}$ ahora afecta el logaritmo a ambos lados:$$\ln{y} = \frac{\ln{(3^n + 1)}}{n}$$ obviamente si $n$ va al infinito podemos omitir 1 dentro del logaritmo y luego obtenemos fácilmente: $\ln{y} = \ln 3$ cuando $n$va al infinito. entonces la respuesta es:$$y = 3$$

Answer 6

Dónde $n$ es suficientemente grande $3^n$ es mucho mayor que $1$, que se puede descuidar (podemos notar que $100000000000000000000$ y $100000000000000000001$ son "casi" iguales).

Entonces $3^n+1 \sim_{n \to \infty} 3^n$ por el hecho de que $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n+1}{3^n}=1$ rápidamente y el resto se puede hacer fácilmente.

Answer 7

$$ \displaystyle\left(3^{n} + 1\right)^{1/n} = 3\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{1/n} = 3\left[\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{3^{\large n}}\right]^{1/\left(3^{\large n}n\right)} \,\,\,\stackrel{\mathrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \bbox[#ffd,10px,border:1px groove navy]{\large 3} $$