Evaluar $\int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx$.
Estoy tratando de evaluar la siguiente integral: $$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx $$ dónde $\zeta >0$es un número real positivo. Dado que la antiderivada de esta función es solo en términos de la integral exponencial, decidí optar por un enfoque diferente.
Mi intento
Hice lo siguiente $$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \int_0^{\pi} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(i \zeta e^{ ix}\right)^n}{n!} \ dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i \zeta)^n}{n!} \int_0^{\pi} e^{nix} \ dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i \zeta)^n}{n! (in)}\left(\underbrace{e^{i\pi n}}_{(-1)^n} -1\right) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\zeta^ni^{n-1}}{(n+1)!} \left((-1)^n -1\right) $$ Para luego verificar si mi procedimiento fue correcto, utilicé WolframAlpha para evaluar ambos lados de la ecuación para el valor $\zeta = 1$. De aqui lo tengo$$ \int_0^{\pi} e^{i e^{ ix}} \ dx = 1.2494... \neq -0.9193... = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n-1}}{(n+1)!} \left((-1)^n -1\right) $$No estoy seguro de dónde cometí mi error. Creo que el intercambio de la integral y la suma está justificado ya que creo que la suma converge absolutamente, pero ahora no estoy tan seguro.
¿Alguien podría decirme dónde está mi error? O alternativamente, ¿alguien podría decirme cómo podría evaluar esta integral? ¡Gracias!
Editar: Gracias a los comentarios, creo que puedo simplificar la integral para ser$$ \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \pi -2\int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt $$ No estoy seguro de si el enfoque que estaba adoptando fuera una buena manera de mostrar esto, pero si alguien tiene alguna idea sobre cómo podría llegar aquí, ¡se lo agradecería enormemente!
Respuestas
Después de jugar con la integral por un tiempo, creo que he encontrado una manera de resolver la integral y obtenerla en términos de $\text{Si}(\zeta)$.
Digamos que definimos $F(\zeta)$ como $$ F(\zeta) := \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx $$ Aquí notamos que $F(0) = \int_0^{\pi} 1\ dx = \pi$. Ahora, desde aquí podemos analizar la derivada de$F$ como sigue: \begin{align} F'(\zeta) &= \frac{d}{d\zeta} \int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \int_0^{\pi} \frac{\partial}{\partial \zeta }e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx =\int_0^{\pi}e^{i \zeta e^{ ix}}\left(e^{ix}\right)i\ dx \\ &\overset{\color{blue}{u=ix}}{=} \int_0^{i\pi}e^{i \zeta e^u} e^u \ du \overset{\color{blue}{s=e^{u}}}{=}\int_1^{-1}e^{i \zeta s} \ ds = \frac{e^{i \zeta s}}{\zeta i}\Bigg\vert_{s=1}^{s=-1} = \frac{1}{\zeta i}\left(e^{-i\zeta} - e^{i \zeta}\right)\\ &= -\frac{2}{\zeta} \left( \frac{e^{i\zeta}-e^{-i\zeta}}{2i}\right) = -2 \frac{\sin(\zeta)}{\zeta} \end{align}recordando que podemos poner la derivada como un parcial dentro de la integral debido a la regla integral de Leibniz. Por otro lado, por el teorema fundamental del cálculo, podemos ver fácilmente que$$ \frac{d}{d\zeta}-2\text{Si}(\zeta) =-2 \frac{d}{d\zeta} \int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt = -2 \frac{\sin(\zeta)}{\zeta} $$ Y desde que encontramos $2$ funciones con la misma derivada, sabemos que deben ser iguales hasta una constante, o en otras palabras $$ F(\zeta) = -2 \int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt + c $$ Pero recordando la condición inicial que teníamos, podemos resolver el valor de la constante de la siguiente manera $$ F(0) = \pi = \int_0^0 \frac{\sin(t)}{t} \ dt + c = c $$ y así obtenemos el resultado final siendo $$ \boxed{\int_0^{\pi} e^{i \zeta e^{ ix}} \ dx = \pi -2\int_0^\zeta \frac{\sin(t)}{t} \ dt} $$
Creo que esta solución es válida para cualquier $\zeta \in \mathbb{R}$, lo que significa que podría generalizar el problema original a algo más que valores positivos. Creo que no me he perdido ningún detalle esta vez, pero si lo he hecho, ¡házmelo saber!
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\left.\int_0^{\pi}\expo{\ic\zeta{\large\expo{\ic x}}}\!\!\dd x \,\right\vert_{\ \zeta\ \in\ \mathbb{R}}} = \int_{\large z\ \in\ \expo{\large\ic\,\pars{0,\pi}}} \expo{\ic\,\zeta z}\,{\dd z \over \ic z} \\[5mm]= &\ \lim_{\epsilon \to 0^{\large +}}\bracks{% -\int_{-1}^{-\epsilon}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x} - \int_{\pi}^{0}\exp\pars{\ic\,\zeta\epsilon\expo{\ic\theta}} \,{\epsilon\expo{\ic\theta}\ic\,\dd\theta \over \ic \epsilon\expo{\ic\theta}} -\int_{\epsilon}^{1}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x}} \\[5mm] = &\ -\mrm{P.V.}\int_{-1}^{1}\expo{\ic\,\zeta x}\,{\dd x \over \ic x} + \pi = \pi - \int_{0}^{1}\pars{\expo{\ic\,\zeta x} - \expo{-\ic\,\zeta x}}\,{\dd x \over \ic x} \\[5mm] = &\ \pi - 2\int_{0}^{1}{\sin\pars{\zeta x} \over x}\,\dd x = \pi - 2\,\mrm{sgn}\pars{\zeta}\int_{0}^{\verts{\zeta}}{\sin\pars{x} \over x}\,\dd x \\[5mm] = &\ \bbx{\large\pi - 2\,\mrm{sgn}\pars{\xi}\,\mrm{Si}\pars{\verts{\zeta}}} \\ & \end{align} $\ds{\mrm{Si}}$es la función integral del seno .