¿Existe una función de conteo general relacionada con la función de conteo primo?

Question

¿Existe una función de conteo general relacionada con la función de conteo primo?

Digamos, por ejemplo, que quería todos los múltiplos enteros positivos de tres menores o iguales a N, ¿hay una función de conteo de múltiplos de 3 menores o iguales a N?

A veces, es posible que desee todos los múltiplos enteros positivos de un producto de números primos, por ejemplo, 15, ¿existe una función de conteo de múltiplos positivos de 3 y 5 menores o iguales a N?

Answer 1

Solo para ampliar mi comentario: si puedes imaginarlo, existe. Debería estar bien definido si simplemente cuenta si los números enteros tienen una propiedad o no. Puede ver cualquier función de conteo como la suma acumulada de una función de indicador que es 1 o 0 para cada número entero.

Considere una función de indicador para su propiedad$A$,$\chi_A(n)$. Como ha indicado, podría definir una función de conteo.$\pi_A(n)$como [asumiendo que estamos interesados ​​en enteros estrictamente positivos]$$ \pi_A(n) = \sum_{k=1}^n \chi_A(k) $$resultados interesantes relacionados con esto incluyen una función generadora de diferencias. para números primos$p_k$, y función de conteo de primos$\pi_p(n)$ $$ \sum_{k=p_1}^\infty x^{\pi_p(k)} = \sum_{k=1}^\infty (p_{k+1}-p_k)x^k $$en general para cualquier función de conteo, para números$a_k$, relativo a la condición$A$ $$ \sum_{k=a_1}^\infty x^{\pi_A(k)} = \sum_{k=1}^\infty (a_{k+1}-a_k)x^k $$por ejemplo, la función de conteo de números$\chi_n(n)=1$, da$\pi_n(n)=n$y$$ \sum_{k=1}^\infty x^{\pi_n(k)} = \sum_{k=1}^\infty (k+1-k)x^k=\frac{x}{1-x} $$en este caso$\pi_n(n)$es la función de conteo de más rápido crecimiento y está aumentando linealmente.

Considere la función de indicador cuadrado$\chi_{\square}(n)$, con condición$\square(n):\sqrt{n}\in \mathbb{N}$, entonces tenemos$$ \pi_\square(n) = \sum_{k=1}^n \chi_\square(k) $$después$$ \sum_{k=1}^\infty x^{\pi_\square(k)} = \sum_{k=1}^\infty ((k+1)^2-k^2)x^k = \frac{3x-x^2 }{(x-1)^2} $$uno de mis favoritos es$\pi_p(\pi_p(n))$es decir, la función de conteo de primos anidados, que se relaciona con la secuencia A073131 como$$ \sum_{k=3}^\infty x^{\pi_p(\pi_p(k))} = \sum_{k=1}^\infty (p_{p_{k+1}} - p_{p_k})x^k $$para que podamos ver$\pi_p(\pi_p(n))$ cuenta primos primos indexados , como 3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109,... o A006450 . Podemos ver que cualquier secuencia de enteros estrictamente crecientes tendrá una función indicadora y, por lo tanto, una función de conteo, y también una función generadora de diferencias. Podemos anidar diferentes tipos de funciones de conteo, por ejemplo$$ \sum_{k=3}^\infty x^{\pi_\square(\pi_p(k))} = \sum_{k=1}^\infty (p_{(k+1)^2} - p_{k^2})x^k $$Cuéntanos$\pi_\square(\pi_p(k))$ cuenta números primos cuyos índices son cuadrados , y esto nos enseña que una cadena general de composiciones da$$ \sum_{k=x}^\infty x^{\pi_{A} \circ \pi_{B} \circ \cdots \pi_{Z} \circ k} = \sum_{k=1}^\infty (z \circ \cdots \circ b \circ a \circ (k+1) - z \circ \cdots \circ b \circ a \circ (k))x^k $$y que una composición de funciones de conteo también es una función de conteo , porque este lado derecho es solo una diferencia de términos.

Tus ejemplos: los múltiplos enteros positivos de tres van como$3,6,9,12,...$, la función indicadora podría potencialmente escribirse como$$ \chi_{m3}(n) = \bmod(1+2n^2,3) $$la función de conteo asociada con esto es$$ \pi_{m3}(n) = \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor $$que utiliza notación para la función de suelo. Podemos usar el concepto de anidamiento para los múltiplos de 15, tenemos$$ \pi_{m15} = \pi_{m3}(\pi_{m5}(n)) = \pi_{m5}(p_{m3}(n)) = \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor}{3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor}{5} \right\rfloor $$esto debería contar números divisibles por$5$cuyos índices son divisibles por$3$o viceversa.