¿Existe una noción de categoría proyectiva dg?

Aug 20 2020

Desde el artículo Esquemas no conmutativos suaves y adecuados y pegado de categorías DG de Orlov, las categorías dg se consideran la contraparte no conmutativa de la geometría algebraica. Más específicamente, llamamos a una categoría dg un esquema no conmutativo si es una subcategoría dg admisible de la categoría dg$\mathfrak{Perf}(X)$para un esquema proyectivo suave$X$. Ahora, muchas propiedades de un esquema$X$definido sobre un campo$k$se puede traducir a propiedades de la categoría$\mathfrak{Perf}(X)$(una mejora dg de$Perf(X)$), p.ej

(1) el esquema$X$es apropiado sobre$k$si y solo si para cualquier$E,F \in \mathfrak{Perf}(X)$tenemos (aquí estoy identificando$E$y$F$con su imagen en la categoría de homotopía de$\mathfrak{Perf}(X)$, que por definición es$Perf(X)$)$$ \sum_{n \in \mathbb{Z}} \text{dim} \, \text{Hom}_{Perf(X)}(E,F[n]) < +\infty$$

(2) el esquema$X$es suave$k$si y sólo si el bimódulo diagonal asociado a$\mathfrak{Perf}(X)$es perfecto en la categoría derivada de$\mathfrak{Perf}(X)-\mathfrak{Perf}(X)$bimódulos.

A partir de lo anterior, uno puede generalizar estas nociones a esas categorías de dg suaves y adecuadas. Mi pregunta es si existe una analogía similar para la noción de esquema proyectivo y, por lo tanto, la noción de una "categoría dg proyectiva".

Gracias por adelantado.

Respuestas

7 Sasha Aug 21 2020 at 14:44

Si$X$es un triple proyectivo suave con una curva flotante$C$entonces típicamente la variedad$Y$obtenido de$X$por un fracaso en$C$no es proyectivo, sino suave, propio y derivado equivalente a$X$. Esto muestra que la proyectividad no es invariante bajo la equivalencia derivada, por lo que no corresponde a una propiedad de la categoría derivada.