¿Existen sistemas caóticos que no pueden predecirse incluso en el límite de las condiciones iniciales de precisión infinita y los recursos infinitos?
Tengo la comprensión de una persona común de la teoría del caos , que parece indicar que usando condiciones iniciales de precisión finita y recursos informáticos finitos, los sistemas caóticos no se pueden predecir después de un período de tiempo.
Mi pregunta es qué sucede en el límite de aumentar la precisión de las condiciones iniciales y los recursos hasta el infinito: ¿el sistema permanece caótico o la ventana de predicción también diverge hasta el infinito?
Considere específicamente las siguientes condiciones:
Tenemos un sistema caótico.
Calculamos la ventana de tiempo de predicción $t_\text{pred}(e,p,m,s)$ dado un margen de error finito $e$, para una precisión finita de las condiciones iniciales $p$y una computadora con memoria finita $m$ operando a una velocidad finita $s$.
Calculamos la misma ventana de tiempo de predicción $t_\text{pred}(e,p,m,s)$ cuando la precisión, la memoria y la velocidad divergen hasta el infinito juntas (pero $e$ permanece finito).
Si para todos los sistemas caóticos la ventana de tiempo diverge hasta el infinito, entonces la respuesta a esta pregunta es no .
Si se encuentra algún sistema donde $t_\text{pred}$puede permanecer finito, entonces la respuesta a esta pregunta es sí .
Dado que esta pregunta parece muy lejos de ser práctica, agregaré una motivación: siento que la respuesta a esta pregunta tiene un impacto importante en la teología. Es decir, si la respuesta es sí, entonces eso excluiría lógicamente la posibilidad de un dios omnisciente no intervencionista (incluido el futuro) que diseñó el universo con un propósito, porque él / ella no podría hacer estos cálculos incluso si él / ella era infinitamente poderoso.
Respuestas
Una propiedad crucial de los sistemas caóticos es que son deterministas: no hay ningún elemento de aleatoriedad en el modelo. Las condiciones iniciales determinan exactamente el futuro del sistema.
Si simulo un modelo caótico con las mismas condiciones iniciales¹ en una computadora real dos veces, obtengo exactamente el mismo resultado. Esto solo difiere de la verdadera solución para mis condiciones iniciales debido a la precisión finita de la aritmética de punto flotante (y, como el sistema es caótico, esta diferencia puede ser grande) ². Y, por supuesto, en el caso puramente hipotético de que quiero simular un sistema real aislado para el que tengo un modelo exacto, tengo el problema de que no puedo representar perfectamente mis condiciones iniciales reales como números de punto flotante.
Si tengo precisión arbitraria e infinitos recursos informáticos disponibles, así como un conocimiento perfecto de las condiciones iniciales, puedo predecir perfectamente un sistema caótico simplemente simulándolo. Para un sistema de tiempo discreto, las únicas razones por las que necesito memoria infinita y velocidad de cálculo son almacenar y trabajar con números de precisión arbitrarios³ (y, por supuesto, si quiero ir infinitamente hacia el futuro). Para un sistema de tiempo continuo, hay otra razón por la que necesito una velocidad de cálculo infinita, es decir, para realizar la integración numérica con pasos de tiempo arbitrariamente finos.
¹ y las mismas reglas de la aritmética de punto flotante
² para un sistema de tiempo continuo, la imprecisión inherente de la integración numérica también agrega un error
³ ya que termino con infinitos dígitos