Existencia de eventos independientes

Question

Dejar $(\Omega, \mathcal {F},\mathbb {P})$ ser un espacio de probabilidad tal que $\Omega$ es contable, y $\mathcal {F}=2^{\Omega}$. Quiero mostrar que es imposible que exista una colección contable de eventos.$A_{1},A_{2},\cdots\in \mathcal {F}$ que son independientes, de modo que $\mathbb {P}(A_{i})=\frac {1}{2}$ para cada $i$. Creo que mostrando$\mathbb {P}(\omega)\leq \frac {1}{2^n}$ para $\omega\in\Omega$ y $n\in \mathbb {N}$ ¿podría ayudar?

Answer 1

Basta mostrar que las condiciones implican que $P(\{\omega\}) = 0$ para todos $\omega \in \Omega$, y así que $P(\Omega)=0$, contradiciendo el hecho de que $P$debería ser una medida de probabilidad. Así que de ahora en adelante considere un fijo$\omega \in \Omega$. Definir conjuntos$B_1,B_2,\dots$ de la siguiente manera $$B_i := \begin{cases} A_i &, \text{ if $\ omega \ en A_i$} \\ \Omega \setminus A_i &, \text{ otherwise} \end{cases}.$$ Ahora dado que $A_1,A_2,\dots$ son independientes con $P(A_i)=\frac12$ resulta que $B_1,B_2,\dots$ son independientes con $P(B_i)= \frac12$. Ahora por construcción sabemos que$\omega \in \bigcap_{i=1}^\infty B_i$ y así lo conseguimos $$P(\{\omega \})\leq P(\bigcap_{i=1}^\infty B_i) =\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n} = 0.$$

Answer 2

Sugerencias :

Dejar $A_\infty$ ser el conjunto de $\omega$ que están contenidos en infinitos $A_i$.

Primero, demuestre que cada $\omega\in A_\infty$ satisface $\Bbb P(\{\omega\})=0$.

Luego, use una versión del lema de Borel-Cantelli (una en la que la independencia o la independencia por pares juega un papel importante), para demostrar que $\Bbb P(A)=1$ sostiene.

Ya que $\Omega$ es contable, esto resultará en una contradicción.