Expectativa con respecto a una variable aleatoria transformada
Problema
Supongamos que tengo una variable aleatoria $z$ siguiendo una distribución $p(z)$. Supongamos que tengo una transformación
$$ f(z) = x $$
que transforma la variable aleatoria $z$ en una nueva variable aleatoria $x$ con distribución $p(x)$. A menudo he visto el siguiente resultado
$$ \mathbb{E}_{p(x)}[g(x)] = \mathbb{E}_{p(z)}[g(f(z))]. $$
En otras palabras, la expectativa con respecto a una distribución $p(x)$ se puede escribir en términos de la distribución original $p(z)$.
¿Hay alguna prueba de esto? Creo que esto debería funcionar incluso si$f(z)$no es invertible y / o diferenciable.
Mi configuración para una solución
Describiré la configuración de mi teoría de la medida.
Distribución de Z
Supongamos que tenemos dos espacios medibles $(\Omega, \mathcal{F})$ y $(\mathsf{Z}, \mathcal{Z})$. La variable aleatoria$Z$ es un mapeo medible $$ Z: \Omega \to \mathsf{Z} $$
tal que la imagen previa $Z^{-1}(B)$ de cualquier $\mathcal{Z}$-conjunto medible $B\in \mathcal{Z}$ es también $\mathcal{F}$-mensurable:
$$ Z^{-1}(B) = \{\omega\in \Omega \, :\, Z(\omega) \in B \} \in \mathcal{F} \qquad \forall \, B \in \mathcal{Z} $$ Ahora la distribución de $Z$es una medida de avance. Supongamos que tenemos un espacio de probabilidad$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. Esto significa que podemos medir conjuntos en$\mathcal{F}$. El impulso o distribución para$Z$ es una forma de medir conjuntos en $\mathcal{Z}$ vía $\mathbb{P}$.
Básicamente, la distribución $Z_*\mathbb{P}$ asigna a conjuntos $B\in\mathbb{Z}$ el mismo valor que si mapeamos $B$ de regreso $\mathcal{F}$ vía $Z^{-1}$ primero, y luego encontramos su medida usando $\mathbb{P}$.
$$ (\mathbb{P} \circ Z^{-1})(B) = Z_*\mathbb{P}(B) \qquad \forall \, B\in \mathcal{Z} $$
Distribución de X
Ahora, la nueva variable aleatoria $X$ es básicamente una función de la variable aleatoria $Z$ y por lo tanto $X$ también es una variable aleatoria.
Considere el espacio de probabilidad $(\mathsf{Z}, \mathcal{Z}, Z_*\mathbb{P})$ para $Z$. Considere también una función medible $$ X: \mathsf{Z} \to \mathsf{X} $$ dónde $(\mathsf{X}, \mathcal{X})$es un espacio medible. Esto esencialmente define la variable aleatoria$X$. Dado que podemos medir conjuntos en$\mathcal{Z}$ utilizando $Z_*\mathbb{P}$ nos gustaría medir conjuntos en $\mathcal{X}$también. Para hacer esto, definimos la distribución de$X$para ser una medida de avance. Básicamente, para dar una medida a un conjunto$C\in \mathcal{X}$ lo asigna a $\mathcal{Z}$ vía $X^{-1}$ y luego lo mide con la distribución $Z_*\mathbb{P}$.
$$ (Z_*\mathbb{P} \circ X^{-1})(C) = X_*Z_*\mathbb{P}(C) \qquad \forall \, C\in\mathcal{X} $$
Valor esperado con respecto a $Z$
Estoy usando esta definición. $$ \mathbb{E}_{p(Z)}(Z) = \int_{\mathsf{Z}} Z(\omega_z) \,\,d Z_*\mathbb{P}(\omega_z) $$
Valor esperado con respecto a $X$
$$ \mathbb{E}_{p(X)}[X] = \int_{\mathsf{X}} X(\omega_x) \,\, d X_*Z_*\mathbb{P}(\omega_x) $$
Respuestas
Dejar $Z$ ser una variable aleatoria con distribución $P^Z$, lo que significa que para cualquier conjunto medible $A$,$$\mathbb P(Z\in A)=P^Z(A)$$ Entonces, para cualquier transformación medible $f$, $X=f(Z)$ es una variable aleatoria con distribución $P^X$ tal que, para cualquier conjunto medible $A$,$$P^X(A)=\mathbb P(X\in A)=\mathbb P(f(Z)\in A)=\mathbb P(Z\in f^{-1}(A))=P^Z(f^{-1}(A))$$ dónde $$f^{-1}(A)=\{x;\ f(x)\in A\}$$ (que se aplica incluso cuando $f$ no es invertible).
Esto significa que, cuando $g(\cdot)$ es una función indicadora, $\mathbb I_A$, la igualdad \begin{align}\mathbb E^{P^X}[g(X)]&=\mathbb E^{P^X}[\mathbb I_A(X)]\\ &=\mathbb P^X(A)\\ &=\mathbb P^Z(f^{-1}(A)]\\ &=\mathbb E^{P^Z}[\mathbb I_{f^{-1}(A)}(Z)]\\ &=\mathbb E^{P^Z}[\mathbb I_A(f(Z))]=\mathbb E^{P^Z}[g(f(Z))] \end{align} soportes. La conclusión sigue (como de costumbre) al escribir cualquier función medible$g$como límite de sumas ponderadas de funciones indicadoras. La expectativa bajo la medida de avance$P^X$ es de hecho la expectativa del $f$-Variada transformada bajo la medida inicial $P^Z$: $$\mathbb E^{P^X}[g(X)]=\mathbb E^{P^Z}[g(f(Z))]$$