Explicación conceptual del signo delante de algunas operaciones binarias
En varias situaciones, he visto que dada una operación binaria en un módulo calificado $m:A\otimes A\to A$, una nueva operación $M(x,y)=(-1)^{|x|}m(x,y)$ se define para que satisfaga algunas propiedades.
Un ejemplo de esto ocurre en homotopía G-álgebras y espacios de módulos , donde para una operación binaria$m\in\mathcal{O}(2)$ tal que $m\circ m=0$ para algunos operados $\mathcal{O}$, un producto asociativo se define por $xy=(-1)^{|x|+1}m\{x,y\}$, donde la notación de llaves representa la estructura de álgebra de llaves en $\mathcal{O}$. En este caso, la explicación que he podido deducir es que esto es necesario para que la relación de llaves (ecuación (2) en el artículo) implique asociatividad del producto$xy$. En este caso el signo$(-1)^{|x|}$ también funciona para este propósito.
Otro ejemplo más directo de estas situaciones ocurre en las fórmulas de homotopía de Cartan y la conexión Gauss-maniana en la homología cíclica , donde se da una$A_\infty$-álgebra con $m_i=0$ para $i>2$, se obtiene un dg-álgebra definiendo de nuevo $xy=(-1)^{|x|}m_2(x,y)$. En este caso, esto se debe a que el autor usa una convención para$A_\infty$-álgebras en las que las ecuaciones solo tienen signos más, por lo que se necesita algún signo extra para producir la relación de asociatividad y la regla de Leibniz. Entonces, las razones son muy similares al caso anterior, aunque la construcción es más simple porque aquí no hay álgebra de llaves.
Y otro ejemplo adicional para el que no tengo ninguna referencia es el caso de las álgebras de Lie. Cuando se define un generador de las operaciones de álgebras de Lie graduadas, a menudo se toma$l(x,y)=(-1)^{|x|}[x,y]$ en lugar de definir directamente $l$como el soporte. Si mal no recuerdo, esto era necesario para obtener la identidad de Jacobi en términos puramente operacionales.
Por lo tanto, parece que es muy común agregar ese signo para mantener algunas relaciones. Lo que me gustaría saber es si hay una explicación más conceptual de por qué esto se mantiene de forma sistemática. Tal vez es solo que funciona al escribir las ecuaciones, pero estoy buscando una intuición más general.
Mi motivación es generalizar esta idea a mapas de mayor aridez. Más precisamente, dado un$A_\infty$-multiplicación $m\in\mathcal{O}$ tal que $m\circ m=0$, Quiero definir un $A_\infty$-estructura $M$ en $\mathcal{O}$ que cumple con la convención de signos
$$\sum_{n=r+s+t}(-1)^{rs+t}M_{r+1+t}(1^{\otimes r}\otimes M_s\otimes 1^{\otimes t})=0.$$
(También hay otra posible convención donde $rs+t$ es reemplazado por $r+st$)
Así que esto es muy similar al artículo de Getzler donde define $M_j(x_1,\dots, x_j)=m\{x_1,\dots x_j\}$, y estos mapas de estructura satisfacen la relación $M\circ M=0$pero con todos los signos más. Entonces, necesito modificar estos mapas con algunos signos de manera similar al caso asociativo. Por supuesto, puedo intentar sentarme y escribir las ecuaciones y encontrar algunas condiciones necesarias para los signos y tal vez encontrar un patrón. Pero si hay una explicación conceptual para el caso asociativo y las álgebras de mentira, entonces quizás haya una manera más fácil de averiguar cuáles son los signos que necesito.
Respuestas
Encuentro la pregunta bastante interesante (en el sentido de que preguntas similares relacionadas con factores de signos que aparecen en varias estructuras algebraicas diferentes sin razón aparente, han estado revisando mis estudios durante bastante tiempo en el pasado ...)
Aunque no estoy realmente familiarizado con la mayoría de sus ejemplos, dado que también está mencionando álgebras asociativas y de Lie, me referiré a un "fenómeno" similar de las álgebras graduadas: esto tiene que ver con el $\mathbb{Z}_2$-producto tensorial graduado, entre dos superalgebras asociativas ($\mathbb{Z}_2$-álgebras graduadas) $A$ y $B$. Si$b$, $c$ son elementos homogéneos de $B$ y $A$respectivamente, entonces el llamado álgebra de producto supertensorial o$\mathbb{Z}_2$-algebra de producto tensorial graduada , de superalgebras, es la superalgebra$A\underline{\otimes} B$, cuya multiplicación viene dada por $$ (a \otimes b)(c \otimes d) = (-1)^{|b| \cdot |c|}ac \otimes bd $$ con $|b|, |c|\in\mathbb{Z}_2$. Aquí el factor de signo , refleja el trenzado de la categoría monoidal de representaciones del álgebra de hopf grupal$\mathbb{CZ}_2$: Recuerde que las superalgebras pueden verse alternativamente como álgebras en la Categoría monoidal trenzada ${}_{\mathbb{CZ}_{2}}\mathcal{M}$ (es decir, la Categoría de $\mathbb{CZ}_{2}$-módulos) y que la multiplicación anterior se puede escribir de forma abstracta como: $$ m_{A\underline{\otimes} B}=(m_{A} \otimes m_{B})(Id \otimes \psi_{B,A} \otimes Id): A \otimes B \otimes A \otimes B \longrightarrow A \otimes B $$Aquí, el trenzado viene dado por la familia de isomorfismos naturales.$\psi_{V,W}: V\otimes W \cong W\otimes V$ escrito explícitamente: $$ \psi_{V,W}(v\otimes w)=(-1)^{|v| \cdot |w|} w \otimes v $$ dónde $V$, $W$ son dos $\mathbb{CZ}_2$módulos.
Además, este trenzado es inducido por la estructura cuasitriangular no trivial del álgebra de Hopf grupal$\mathbb{CZ}_{2}$, dado por el $R$-matriz : \ begin {ecuación} R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} = \ sum R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} ^ {(1)} \ otimes R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} ^ {(2)} = \ frac {1} {2} (1 \ veces 1 + 1 \ veces g + g \ veces 1 - g \ veces g) \ end {ecuación} a través de la relación:$\psi_{V,W}(v \otimes w) = \sum (R_{\mathbb{Z}_{2}}^{(2)} \cdot w) \otimes (R_{\mathbb{Z}_{2}}^{(1)} \cdot v)=(-1)^{|v| \cdot |w|} w \otimes v$.
Para otro punto de vista, el mencionado$R$-matriz se puede considerar "generada" por el bicharacter correspondiente (o: factor de conmutación) del$\mathbb{Z}_2$grupo.
Hay biyecciones entre$R$-matrices, trenzados y bicaracteres (que aquí son en realidad factores de conmutación) en el ajuste trenzado y graduado para assoc o Lie trenzado ("coloreado" es otro nombre), álgebras graduadas.
Todos estos pueden generalizarse para álgebras graduadas, graduaciones y trenzados, o $R$-matrices, o bicaracteres de los grupos correspondientes, para cualquier grupo abeliano finito. También por$\mathbb{G}$-calificado, $\theta$-superralgebras de Lie de color, para producir bicaracteres más complicados $\theta:\mathbb{G}\times\mathbb{G}\to k$ (que en el ejemplo anterior donde $\mathbb{G}=\mathbb{Z}_2$ es exactamente el factor de signo del $\mathbb{Z}_2$ grupo abeliano).
Para concluir: los factores de signo aquí, son una apariencia "implícita" de los bicaracteres del grupo correspondiente. Y también pueden verse como trenzados de la categoría correspondiente de representaciones o como$R$-matrices para el correspondiente grupo cuaitriangular hopf álgebras (de la aleta, abeliano, grupo de clasificación).
Si está interesado en estos ejemplos y los considera relevantes para su pregunta, también puede echar un vistazo a la descripción en esta respuesta: https://mathoverflow.net/a/261466/85967 y mi papel vinculado allí.
Como comentó Gabriel C. Drummond-Co, tiene que ver con las suspensiones que están implícitas. Lo haré con el ejemplo de Gerstenhaber y Voronov y los demás deberían seguir de manera similar. Denotemos$M_2(x,y)=x\cdot y$ el producto que queremos definir en base al corsé $m\{x,y\}$. Si lo definimos como mapa$(s\mathcal{O})^{\otimes 2}\to s\mathcal{O}$ (suspensión como espacios vectoriales graduados), entonces lo natural es usar la llave $m\{-,-\}:\mathcal{O}^{\otimes 2}\to \mathcal{O}$, pero para hacerlo hay que componer con suspensiones y desuspensiones. A saber,$M_2(x,y)=s(m\{(s^{-1}x,s^{-1}y)\})$. Y esta aplicando$(s^{-1})^{\otimes 2}(x,y)$ que hace la señal $(-1)^{|x|}$Aparecer. Si usamos$(s^{\otimes 2})^{-1}$ en su lugar, obtenemos el signo original $(-1)^{|x|+1}$.