Factorización Hadamard de funciones L

Question

Ya he hecho esta pregunta aquí en una forma diferente, pero realmente necesito una respuesta. Dejar$L(s)$ ser un "estándar" $L$-función, digamos con producto de Euler, ecuación funcional, etc ... (clase Selberg si se quiere), de orden 1, y dejemos $\Lambda(s)$ ser el completo $L$-función con factores gamma. Así tenemos$\Lambda(k-s)=\omega\Lambda^*(s)$, dónde $\Lambda^*$ es la función Lambda "dual" (ejemplo: si $L(s)$ corresponde a un personaje de Dirichlet $\chi$, $\Lambda^*$ corresponde a su conjugado), y $\omega$ número raíz del módulo 1.

Suponga, por ejemplo, que no hay polos. Ya que$\Lambda$ tiene orden $1$ tiene un producto Hadamard $$\Lambda(s)=ae^{bs}\prod_{\rho}(1-s/\rho)\;,$$ donde el producto está sobre los ceros de $\Lambda$ y entendido como el límite como $T\to\infty$ del producto para $|\rho|<T$ (a propósito no uso el más estándar $(1-s/\rho)e^{s/\rho}$).

Mi pregunta es esta: ¿siempre tenemos $b=0$? Esto es trivial si$\Lambda^*=\Lambda$ (auto-dual), de lo contrario, lo único que puedo probar es que $b$es puramente imaginario. He experimentado numéricamente con algunos$L$ funciones adjuntas a los caracteres de Dirichlet, y parece ser cierto.

Observaciones: 1) Puedo tener una prueba usando la "fórmula explícita" de Weil, pero no estoy seguro de su validez, y parece demasiado complicado. 2) Tengo un vago recuerdo de Harold Stark mencionando este resultado hace 50 años.

Answer 1

Creo que tienes razón y $b$es cero, aunque me resulta inexplicable por qué esto no es más conocido (ciertamente no lo sabía antes). Sigamos con un carácter primitivo de Dirichlet$\mod q$, pero lo que sigue debería ser aplicable en general. Si tomamos derivadas logarítmicas, entonces$$ \frac{\Lambda^{\prime}}{\Lambda}(s) = b + \sum_{\rho} \frac{1}{s-\rho}, $$ con el entendimiento de que los ceros $\rho=\beta+i\gamma$ se cuentan con $|\gamma|\le T$, y entonces $T\to \infty$. Evaluemos lo anterior en$s=R$ para un gran número real $R$y concéntrese solo en las partes imaginarias.

Ahora $$ \text{Im} \Big( \frac{\Lambda^{\prime}}{\Lambda}(R)\Big) $$ tiende exponencialmente a $0$ como $R\to \infty$. Así que veamos la parte imaginaria del lado derecho, que es$$ \text{Im} (b) + \lim_{T\to \infty} \sum_{|\gamma|\le T} \frac{\gamma}{(R-\beta)^2 + \gamma^2}. $$ Tenga en cuenta que $$ \sum_{|\gamma|\le T} \frac{\gamma}{(R-\beta)^2+\gamma^2} = \sum_{|\gamma|\le T}\Big( \frac{\gamma}{R^2+\gamma^2} + O\Big( \frac{R|\gamma|}{(R^2+\gamma^2)^2}\Big)\Big). \tag{1} $$ Para manejar el término de error, divídalo en los términos $|\gamma|\le R$ y $|\gamma|>R$, obteniendo que el término de error es $$ \ll \sum_{|\gamma|\le R} \frac{1}{R^2} + \sum_{R<|\gamma|} \frac{R}{|\gamma|^3} \ll \frac{\log qR}{R}, $$ al recordar que hay $\ll \log q(|t|+1)$ ceros en un intervalo de longitud $1$ (Recordaremos esto con mayor precisión a continuación).

Ahora, el término principal en (1) se puede manejar mediante una suma parcial. por$t>0$, poner $N^+(t)$ ser el número de ceros de $\Lambda$ con parte imaginaria entre $0$ y $t$y $N^{-}(t)$ ser el número de ceros con parte imaginaria entre $-t$ y $0$. Entonces ambos$N^+$ y $N^-$ satisfacer por el principio del argumento la conocida fórmula asintótica (para $t\ge 1$) $$ N^+(t), N^{-} (t) = \frac{t}{2\pi} \log \frac{qt}{2\pi e} +O(\log (q(t+1))). $$ Así para todos $t>0$ $$ |N^+(t) - N^-(t)| = O(\log (q(2+t))). $$ Ahora por suma parcial \begin{align*} \sum_{|\gamma|\le T} \frac{\gamma}{R^2+\gamma^2} &= \int_0^{T} \frac{t}{R^2+t^2} dN^+(t) - \int_0^T \frac{t}{R^2+t^2} dN^-(t) \\ &= \frac{T}{R^2+T^2} (N^+(T)-N^-(T)) - \int_0^T (N^+(t)-N^-(t)) \Big( \frac{t}{R^2+t^2}\Big)^{\prime} dt \\ &= O\Big(\frac{T\log qT}{R^2+T^2} \Big) + O\Big(\int_0^T (\log q(t+2)) \Big(\frac{1} {R^2+t^2} + \frac{2t^2}{(R^2+t^2)^2} \Big)dt \Big)\\ &= O\Big( \frac{\log qR}{R}\Big), \end{align*} al dejar $T\to \infty$.

Concluimos que la cantidad en (1) es $O((\log qR)/R$, y así tiende a $0$ como $R\to \infty$.