Fórmula cerrada a $N:=\sum_{j=0}^{k/2}\left(\begin{array}{c} n \\ k-j \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} k-j \\ j \end{array}\right) $

Question

Me di lo siguiente

Problema : para$k$ incluso y $n\geq k$, ¿se puede encontrar una fórmula cerrada para la suma $$ N:=\sum_{j=0}^{k/2}\left(\begin{array}{c} n \\ k-j \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} k-j \\ j \end{array}\right)? $$

Al principio, pensé que algún tipo de identidad de Vandermonde podría resolver esto. Ahora creo que esto está lejos de ser trivial, si es que es posible. Quiero asegurarme de que no me equivoco.

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ Tenga en cuenta que $\ds{{k - j \choose j} = 0}$ cuando $\ds{j > {k \over 2}}$: La suma se puede realizar $\ds{\mbox{" up to $\ ds {+ \ infty "}$}}$: \begin{align} {\cal N}\pars{k,n} & \equiv \bbox[5px,#ffd]{% \sum_{j = 0}^{k/2}{n \choose k - j}{k - j \choose j}} \\[5mm] & = \sum_{j = -\infty}^{0}{n \choose k + j} {k + j \choose -j} \\[5mm] & = \sum_{j = -\infty}^{k}{n \choose j} {j \choose k - j} = \sum_{j = 0}^{\infty}{n \choose j}{j \choose k - j} \\[5mm] & = \sum_{j = 0}^{\infty}{n \choose j}\bracks{z^{k - j}} \pars{1 + z}^{j} \\[5mm] & = \bracks{z^{k}}\sum_{j = 0}^{\infty}{n \choose j} \bracks{z\pars{1 + z}}^{j} \\[5mm] & = \bracks{z^{k}}\pars{1 + z + z^{2}}^{n} \\[5mm] & = \bracks{z^{k}}{1 \over \bracks{1 -2\pars{\color{red}{-1/2}}z + z^{2}} ^{\color{red}{-n}}} \\[5mm] & = \sum_{j = 0}^{\infty}\on{C}_{j}^{\color{red}{-n}}\, \pars{\color{red}{-{1 \over 2}}}z^{j} \end{align}

$\ds{C_{j}^{\pars{\alpha}}}$es un polinomio de Gegenbauer .$$ \implies \bbx{{\cal N}\pars{k,n} = C_{k}^{\pars{\color{red}{-n}}}\, \pars{\color{red}{-{1 \over 2}}}} \\ $$

• $\ds{{\cal N}\pars{k,n} = 0}$ cuando $\ds{k \geq 2n + 1}$.
• $\ds{{\cal N}\pars{k,n} = {\cal N}\pars{k,n - k}}$.

Lote de $\ds{{\cal N}\pars{k,10}}$: