función hipergeométrica regularizada integral definida
Actualmente estoy atrapado en la siguiente ecuación: $\frac{\sqrt{m} \sec \left( (m+1)\pi \right)}{4\Gamma(m)} \int\limits_{0}^{\infty} \sqrt{z}\: {}_1\mathcal{M}_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}-m,\frac{-mz}{4} \right) dz=1$ $\forall$ $m \in \mathbb{Z}^+$, dónde ${}_1\mathcal{M}_1(a,b,z)=\frac{1}{\Gamma(b-a)\Gamma(a)}\int\limits_0^1e^{z\alpha}\alpha^{a-1}(1-\alpha)^{b-a-1}d\alpha$ es la función hipergeométrica confluente regularizada.
Dado que evalué la integral usando Mathematica, actualmente estoy interesado en cómo obtuvo Mathematica esta solución.
Lo que he podido obtener después de algunas manipulaciones y explotando propiedades de la función Gamma es lo siguiente: $\frac{\sqrt{m} \sec \left( (m+1)\pi \right)}{4\Gamma(m)} \int\limits_{0}^{\infty} \sqrt{z}\: {}_1\mathcal{M}_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}-m,\frac{-mz}{4} \right) dz=\frac{2\Gamma(m-\frac{1}{2})}{m\pi\Gamma(m)}\int\limits_{0}^{\infty}t^{\frac{1}{2}}{}_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}-m,-t \right) dt$, donde aplicamos la transformación $\frac{mz}{4}\rightarrow t$ y ${}_1F_1(a,b,z)={}_1\mathcal{M}_1(a,b,z)\Gamma(b)$ es la función hipergeométrica confluente estándar.
Existe una integral estándar en el libro "Tabla de integrales, series y productos" de IS Gradshteyn e IM Ryzhik, que es la siguiente: $\int\limits_{0}^{\infty}t^{b-1}{}_1F_1(a,c,-t)dt=\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-b)}$[7.612.1]. Pero el problema es que este resultado se mantiene solo cuando$b<a$, que no es el caso en mi problema. Este es precisamente el punto en el que estoy atascado y no puedo llegar a la solución que proporciona Mathematica.
Cualquier sugerencia será de gran ayuda.
Respuestas
Para evaluar \ begin {ecuación} I = \ frac {2 \ Gamma (m- \ frac {1} {2})} {m \ pi \ Gamma (m)} \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} t ^ {\ frac {1} {2}} {} _ 1F_1 \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {3} {2} -m, -t \ right) \, dt \ end {ecuación } reemplazamos la función hipergeométrica por su representación en términos de polinomios de Laguerre (ver aquí ) \ begin {ecuación} {} _1F_1 (a, a - n, z) = \ frac {(- 1) ^ nn!} {(1 -a) _n} e ^ zL_n ^ {an-1} (- z) \ end {ecuación} con$a=1/2,n=m-1,z=-t$, para expresar, después de varias simplificaciones, \ begin {ecuación} I = \ frac {2 (-1) ^ {m-1}} {m \ sqrt {\ pi}} \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty } t ^ {1/2} e ^ {- t} L_ {m-1} ^ {1/2-m} (t) \, dt \ end {ecuación} De la expresión de tipo Rodrigues \ begin {ecuación} L_n ^ \ lambda (z) = \ frac {e ^ zz ^ {- \ lambda}} {n!} \ Frac {\ parcial ^ n} {\ parcial z ^ n} \ left (z ^ {n + \ lambda} e ^ {- z} \ right) \ end {ecuación} con$n=m-1,\lambda=1/2-m$, \ begin {ecuación} L_ {m-1} ^ {1/2-m} (z) = \ frac {e ^ zz ^ {m-1/2}} {(m-1)!} \ frac { \ parcial ^ {m-1}} {\ parcial z ^ {m-1}} \ left (z ^ {- 1/2} e ^ {- z} \ right) \ end {ecuación} Por tanto, \ begin {ecuación } I = \ frac {2 (-1) ^ {m-1}} {m! \ Sqrt {\ pi}} \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} t ^ {m} \ frac {\ parcial ^ {m-1}} {\ parcial t ^ {m-1}} \ left (t ^ {- 1/2} e ^ {- t} \ right) \, dt \ end {ecuación} Al realizar integraciones por partes$m-2$veces, \ begin {ecuación} \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} t ^ {m} \ frac {\ partial ^ {m-1}} {\ partial t ^ {m-1}} \ left ( t ^ {- 1/2} e ^ {- t} \ right) \, dt = (- 1) ^ {m-1} m! \ int_0 ^ \ infty t ^ {1/2} e ^ {- t } \, dt \ end {ecuación} Finalmente \ begin {ecuación} I = 1 \ end {ecuación}