Funcionales lineales tremendamente discontinuos
Dejar $X$ ser un espacio Banach, $H\subseteq X$ ser un hiperplano denso, y $f$ser un funcional lineal continuo definido en$H$. Luego$f$ es uniformemente continuo y por lo tanto admite una extensión continua única para $X$.
Sin embargo, escojamos en su lugar un funcional lineal discontinuo$g$ extensión $f$ a la totalidad de $X$.
No se puede decir eso $g$ es una lástima ya que, después de todo, su restricción a un gran subespacio, a saber $H$, es continuo.
¿Cada espacio de Banach admite un funcional lineal que es cero o discontinuo cuando se restringe a cada subespacio de dimensión infinita?
El núcleo de tal funcional tendrá entonces una densa intersección con cada subespacio de dimensión infinita.
Respuestas
Ningún funcional lineal distinto de cero tiene la propiedad que usted solicita. Suponer$F$es un funcional lineal distinto de cero. Escoger$x$ S t $F(x)=1$. Dejar$G$ ser un st funcional lineal continuo $G(x)=1$. Dejar$Y$ ser la intersección de los núcleos de $F$ y $G$, de modo que $Y$ tiene codimensión $2$. Luego$F$ es continuo en el tramo lineal de $Y$ y $x$ ya que $F$ está de acuerdo con $G$ en esta codimensión uno subespacio.