Funciones armónicas en complementos de nudos

Question

En la teoría de funciones armónicas de Axler, él y sus coautores desarrollan la teoría de funciones armónicas en esferas y discos considerando las restricciones de polinomios arbitrarios en la esfera. $S^{n-1} = \{x \in \mathbb{R}^n : ||x||^2 = 1 \}$y tomando la integral de Poisson para obtener un polinomio armónico en la bola interior. Luego, se puede tomar la transformada de Kelvin para obtener una función armónica en el exterior de la esfera. Este proceso produce una proyección canónica$\mathscr{P}(\mathbb{R}^n) \to \mathscr{H}(\mathbb{R}^n)$, desde el espacio de polinomios al espacio de funciones armónicas, factorizando a través del mapa de restricción para $L^2(S^{n-1})$.

¿Esta teoría se generaliza para anudar complementos? Di que tenemos un nudo$K \subseteq \mathbb{R}^3$, y tomamos un pequeño barrio tubular $V$ alrededor $K$, cuyo límite es topológicamente un toro $T$. Dada una función en el complemento de nudos, se podría restringir a$T$y luego resuelve el problema de Dirichlet en el complemento del nudo para obtener una proyección como la de arriba. Sin embargo, en el caso de la esfera, hay muchas propiedades interesantes de la teoría de la función armónica; es decir, viene con un algoritmo eficiente para el cálculo de una base polinomial armónica de$L^2(S^{n-1})$ que implica diferenciar repetidamente la función $f(x) = |x|^{2-n}$.

¿Alguien tiene conocimiento de alguna teoría en este sentido? ¿Existe algún obstáculo para generalizar lo que ocurre en el caso de la esfera?

Answer 1

Esto es más un comentario, pero demasiado largo. Primero, dos comentarios sobre la parte inicial de la pregunta:

1. El Kelvin transformada de un polinomio armónica es, por supuesto, armónica, pero es no un polinomio. Por ejemplo, la constante$1$ se transforma en $|x|^{2-n}$.

2. La extensión de la proyección $\pi : \mathscr P(\mathbb R^n) \mapsto \mathscr H(\mathbb R^n)$no me queda claro. Dejar$\pi = \pi_2 \circ \pi_1$ ser la factorización mencionada en la pregunta: $\pi_1$ asigna polinomios a sus restricciones a la esfera unitaria $\mathbb S^{n-1}$y $\pi_2$ se extiende armónicamente a la bola de la unidad $\mathbb B^n$. Luego$\pi_2$ se extiende claramente a la extensión habitual de $L^2(\mathbb S^{n-1})$ al armónico espacio Hardy $\mathscr H^2(\mathbb B^n)$en la bola unitaria, dada por la integral de Poisson. Y para$\pi_1$ todo lo que necesitamos es poder restringir nuestra función a la esfera unitaria y obtener algo integrable al cuadrado (por ejemplo, el espacio de Sobolev $H^{1/2}(\mathbb B^n)$hará). Sin embargo, si requerimos que nuestras proyecciones estén en$\mathscr H(\mathbb R^n)$, la clase de funciones armónicas completas , entonces sus series de potencias convergen en todas partes, lo cual es una restricción severa. No conozco ninguna caracterización intrínseca de la imagen inversa de$\mathscr H(\mathbb R^n)$ a través de (la extensión de) $\pi_1$mucho menos $\pi = \pi_2 \circ \pi_1$.

Cuando se trata de la pregunta principal, tengo problemas para entender la construcción propuesta. Por supuesto, cualquier valor límite (razonable, digamos, integrable con respecto a la medida de superficie) en$T$ corresponden a una función armónica $h$ en el complemento de $V$, nuevamente dada por una integral de Poisson (con kernel que ya no se conoce explícitamente). Esta$h$ se da de forma única si asumimos, digamos, que $h$está limitado al infinito. Si tenemos suerte, esta función$h$ podría extenderse al complemento de $K$, pero no estoy al tanto de ninguna condición razonable para que exista tal extensión, incluso en la configuración más simple posible cuando $K$ eran un punto y $T$ una esfera (esto es esencialmente lo que estaba tratando de describir en la primera parte de este comentario, después de una transformación de Kelvin).

Entonces parece que me equivoqué por completo ...