Functor de reemplazo de fibrante

Question

En el fragmento a continuación (tomado del libro MC de Hovey), ¿por qué es$$X\mapsto QX$$pero luego se invierte la dirección :$$QX\to X$$?

Además, me gustaría entender en ese párrafo cómo$\alpha$y$\beta$se usan para obtener estos funtores de reemplazo: ¿se usan ambos para el funtor de reemplazo cofibrante, por ejemplo?

Answer 1

El axioma de factorización funcional afirma que cada mapa se factoriza mediante una cofibración seguida de una fibración acíclica (trivial) (y también puede pasar la parte "trivial" al factor de cofibración). dado el mapa$\varnothing \to X$, que siempre existe como$\varnothing$es inicial, aplicamos este axioma para obtener una factorización$$ \varnothing \to QX \to X $$donde la primera es una cofibración y la segunda una fibración trivial. este es tu mapa$QX \to X$. El proceso de hacer esto, sin embargo, es un funtor que actúa como$X \mapsto QX$. Que este sea un funtor es el "functorial" en la factorización functorial. Esto no significa que haya un mapa.$X \to QX$. En otras palabras, el reemplazo de cofibrante da un funtor$Q$con$Q(X)=QX$. Él simplemente escribió esto como$X \mapsto QX$(y no$X \to QX$, lo que significaría algo diferente e incorrecto).