Generadores de $S_4$

Question

El grupo $S_4$ es generado por $\{(12), (1234)\}$.Ahora algo que quiero saber es cómo voy a generar por un ciclo de orden $4$ y cualquier ciclo de orden $3$ y el orden $2$.

Mi pregunta principal es encontrar el número de homomorfismos, y si $\varphi(1234) \to -1$ y $\varphi (12) \to -1$.

Entonces, ¿cómo concluiré a partir de aquí que cualquier permutación extraña irá a $-1$ y cualquiera irá a $1$. (Tiene que demostrarse mediante cálculos burdos y no utilizando teoremas de homomorfismo).

Realmente necesito ayuda.

Answer 1

Cualquier permutación extraña $π$ debe ser expresable como una palabra en $(12)$ y $(1234)$ de longitud impar $n$, ya que ambos son extraños. Así$\varphi(π)=(-1)^n=-1$, ya que $\varphi$ es un homomorfismo.

Answer 2

Usando una teoría de la representación (ver https://math.stackexchange.com/q/3842441/432081) He estado trabajando, desarrollé un programa de Python de procesamiento de cadenas para multiplicar permutaciones. Paso a paso fui aumentando el tamaño de nuestro subconjunto de grupos de trabajo; hay una y solo una representación estándar.

$\tau = (12)$

$\sigma = (1234) = (12)\,(23) \,(34)$

$\sigma^2 = (13)\,(24)$

$\sigma^3 = (14)\,(24)\,(34)$

$\tau\sigma = (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2 = (13) \, (24) \, (34)$

$\tau\sigma^3 = (14)\,(34)$

$\sigma\tau = (13) \,(34)$

$\sigma^2\tau = (14) \, (23) \, (34)$

$\sigma^3\tau = (24)\,(34)$

$\tau\sigma\tau = (13) \, (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2\tau = (14) \, (23)$

$\tau\sigma^3\tau = (12) \, (24) \,(34)$

$\sigma^2\tau\sigma^2 = (34)$

Desde aquí puedes 'despegar' el resto $5$ transposiciones y explicar por qué, para cualquier transposición $\omega$,

$\quad \varphi(\omega) = -1$