Gradiente en coordenadas esféricas

Question

Estoy tratando de derivar el vector de gradiente en coordenadas polares esféricas: $$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)$$El método que intento utilizar es diferente de la mayoría de los artículos / videos que encontré y no entiendo por qué no funciona. Puedo obtener expresiones para los diferenciales cartesianos:$dx, dy, dz$. Primero, solo estoy tratando de encontrar$\frac{\partial}{\partial x}$en coordenadas esféricas. Yo tengo:$$dx= \cos \theta \sin \phi dr + r \cos \theta \cos \phi d \theta + r \sin \theta \sin \phi d \phi$$ Esto suena extraño pero mi primera intuición fue decir que: $$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{ \partial }{ \cos \theta \sin \phi dr + r \cos \theta \cos \phi d \theta + r \sin \theta \sin \phi d \phi} $$ Lo que no parece tener ningún sentido ahora :(. Si mi lógica está mal, ¿alguien podría explicarme por qué?

Answer 1

Este es un ejemplo clásico de por qué tratar algo como $\frac{dy}{dx}$como una fracción literal en lugar de una notación abreviada para un límite es malo. Si desea derivarlo de los diferenciales, debe calcular el cuadrado del elemento de línea$ds^2 .$ Empezar con $$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$$ en coordenadas cartesianas y luego mostrar

$$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 (\theta) d\varphi^2 \; .$$Los coeficientes de los componentes del gradiente en este sistema de coordenadas esféricas serán 1 sobre la raíz cuadrada de los coeficientes correspondientes del elemento de línea. En otras palabras

$$\nabla f = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1}}\frac{\partial f}{\partial r} & \frac{1}{\sqrt{r^2}}\frac{\partial f}{\partial \theta} & \frac{1}{\sqrt{r^2\sin^2\theta}}\frac{\partial f}{\partial \varphi} \end{bmatrix} \; .$$ Tenga en cuenta que este gradiente tiene vectores base nomalizados.

Para un sistema de coordenadas general (que no necesariamente tiene una base ortonormal), organizamos el elemento de línea en una "matriz" simétrica con dos índices $g_{ij} .$ Si el elemento de línea contiene un término como $f(\mathbf x)dx_kdx_\ell\; \;$ luego $g_{k\ell} = f(\mathbf x).\;$ Luego, el gradiente se expresa como

$$\nabla f = \sum_i \sum_j \frac{\partial f}{\partial x_i}g^{ij}\mathbf e_j$$ dónde $\mathbf e_j$ no es necesariamente un vector normalizado y $g^{ij}$ es la matriz inversa de $g_{ij}$.