Hace $U^c \subseteq B$ implica $B^c \subseteq U$?

Question

Suponer $U, B$ son ambos subconjuntos de $X$ y quiero saber si $U^c \subseteq B$ implica $B^c \subseteq U$. Parece que el caso es cierto porque he dibujado algunos diagramas de Venn y parece que se sostiene, pero no estoy seguro de si ese es el caso, ya que creo que podría haber algunos contraejemplos. ¿Alguien me podría dar algunas ideas? ¡Gracias!

Answer 1

Brevemente: si $x\in B^c$ entonces $x\notin B$, entonces $x\notin U^c$, por lo tanto $x\in U$.

Answer 2

Si $x \in B^\complement$. Yo afirmo que de hecho$x \in U$ porque

Si $x \notin U$ entonces $x \in U^\complement \subseteq B$ entonces $x \in B$ contradecir $x \in B^\complement$.

Entonces la inclusión se mantiene. Alternativamente, podrías usar el hecho lógico

$$p \to q \iff \lnot q \to \lnot p$$ aplicado a $p:= (x \in B^\complement)$ y $q:= (x \in U)$.