$I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$ para cada teoría $T$, cada cardenal $\lambda$.

Question

Dejar $T$ ser una teoría completa de primer orden.

Asumiendo $\lambda \geq |L(T)| + \aleph_0$, es obvio que $I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$? La pregunta fue estimulada al mirar la conjetura de Vaught en wikipedia. No tengo mucho conocimiento de la teoría de modelos, por lo que podría ser obvio y solo estoy siendo tonto o podría estar usando tecnología que aún no he cubierto. ¿O es esto quizás solo cierto cuando$\lambda = \aleph_0$ ?

Lo único que se me ocurre es contar el número de modelos no isomórficos en función de los tipos que satisfacen, pero no creo que eso funcione.

Answer 1

En el entorno que está describiendo, hay como máximo $2^\lambda$ $L$-estructuras, y por tanto ciertamente no más que $2^\lambda$ clases de isomorfismo de modelos de $T$.

Arreglar un $\lambda \geq |L|+\aleph_0$, y deja $M$ ser un conjunto de cardinalidad $\lambda$.

Para cada $n$-símbolo de función de orden $f$ debemos interpretar $f$ como una función $f : M^n \to M$. Hay exactamente$\lambda^{(\lambda^n)} = 2^\lambda$muchas de estas funciones para elegir. Del mismo modo, para cada$n$-símbolo de relación que tenemos $2^\lambda$ opciones para elegir, y para cada símbolo constante solo tenemos $\lambda$ opciones para elegir.

Por lo tanto, para cada símbolo en el idioma tenemos como máximo $2^\lambda$opciones. Ya que hay como máximo$\lambda$ símbolos en el idioma, el número total de elecciones que tenemos que hacer es como máximo $(2^\lambda)^\lambda = 2^{\lambda \times \lambda} = 2^\lambda$.