Índice elevado de derivada parcial
Me está costando mucho entender la notación de componentes para campos tensoriales. Por ejemplo, no sé exactamente qué significa la siguiente expresión$$\partial_\mu\partial^\nu \phi, \tag{$\ #$}$$ dónde $\phi$es un campo escalar. Por un lado$\partial^\nu=g^{\lambda\nu}\partial_\lambda$ dónde $g_{\mu\nu}$ es la métrica de Minkowski, por lo que podríamos escribir explícitamente $$\partial_\mu\partial^\nu \phi=\sum_{\mu,\nu,\lambda}g^{\lambda\nu}\partial_\mu \partial_{\lambda}\phi=\sum_{\mu,\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi=\partial_\mu\partial_\nu\phi. \tag{$*$} $$ Por otro lado, podemos pensar en $\partial_\mu\partial^\nu=g(\partial_\mu,\partial^\nu)=\delta_\mu^\nu;$ así que eso $\partial_\mu\partial^\nu\phi=\phi?$¿Tal vez? De hecho, no estoy seguro de lo que esto significaría. Estoy realmente confundido. Se agradece cualquier ayuda.
Editar: Para dar contexto de dónde proviene esta expresión: estaba calculando el Lagrangiano$$\mathcal L=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)(\partial^\mu \phi) $$ considerando una traslación espaciotemporal infinitesimal $x^ \mu\to x^\mu-\alpha a^\mu$. El campo escalar se transforma así como$\phi(x)\to \phi(x)+\alpha(\partial_\mu\phi(x))a^\mu.$ Conectar thins al Lagrangiano produce el término al que me refiero.
Edición 2: El cambio en la ubicación de los índices son en realidad mis dudas. Trato de elaborar.
No tengo experiencia en el uso de índices para hablar de tensores. Estoy acostumbrado a interpretar las expresiones$\partial_\mu$como el campo de vector local definido en algún gráfico (coordenadas locales). Pienso en campos vectoriales$X$ como sección abstracta del paquete tangente, que restringida a coordenadas locales se puede expresar como $X=X^\mu\partial_\mu$. En el contexto de QFT, según tengo entendido, el símbolo$\partial_\mu$ denota $(\partial_t,\nabla)$ en las coordenadas locales $(t,x,y,z)$. Así que eso$\partial_\mu\phi=(\partial_t \phi,\partial_x \phi,\partial_y\phi,\partial_z\phi)$. Se suponía que esta era mi justificación de por qué escribí el resumen en$\mu$ y $\nu$ en $(*)$, pero ahora noto que esto solo se aplica cuando $\mu$ o $\nu$aparecen dos veces, indicando el producto escalar; lo que me lleva al último comentario. pienso$g_{\mu \nu}$ como el componente de la matriz $$g=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1\\ \end{pmatrix}$$ que representa la métrica pseudo-Riemmaniana, que por definición actúa sobre vectores tangentes, es decir, combinaciones lineales de $\partial_\mu$aplicado a un punto. Aquí es donde viene mi duda, en cuál era la forma correcta de interpretar la notación; en particular cuál es la expresión$(\#)$ en coordenadas explícitas?
Respuestas
$\renewcommand{\lag}{\mathcal{L}}\renewcommand{\pd}{\partial}\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}$$\ pd ^ \ mu $ se define como $ \ pd ^ \ mu: = g ^ {\ mu \ nu} \ pd _ {\ nu} $ , donde uso la convención de que todos los índices repetidos se suman y $ g ^ {\ mu \ nu} $ son los componentes del tensor métrico inverso. Por lo tanto, su lagrangiano se puede reescribir como $$ \ lag = \ tfrac12g ^ {\ mu \ nu} (\ pd_ \ mu \ phi) (\ pd_ \ nu \ phi) \ tag {1} $$ y también su expresión $ ( \ #) $ es igual a $ g ^ {\ mu \ sigma} \ pd_ \ nu \ pd_ \ sigma \ phi $ .
Para ver de dónde viene todo esto desde el punto de vista de la geometría diferencial, este lagrangiano se puede escribir en una forma libre de coordenadas como la forma superior $$ \ lag = \ tfrac12 \ d \ phi \ wedge \ star \ d \ phi, \ tag {2} $$ donde $ \ d $ es la derivada exterior y $ \ star $ es la estrella Hodge. Es un ejercicio fácil de restringir a un sistema de coordenadas local, $ \ dx ^ \ mu $ , en cuyo caso $ \ d \ phi $ se convierte en $ \ frac {\ pd \ phi} {\ pd x ^ \ mu} \ dx ^ \ mu \ equiv \ pd_ \ mu \ phi \, \ dx ^ \ mu $ . La estrella de Hodge contribuirá con un factor de $ g ^ {\ mu \ nu} $ y así (2) volverá a (1).
Además, puedes pensar en $ a ^ \ mu \ pd_ \ mu \ phi (x) $ en un entorno más formal como $ \ iota_a \ d \ phi $ , donde $ \ iota_a $ es el producto interior a lo largo del campo vectorial $ a $ con componentes $ a ^ \ mu $ . Entonces, la transformación $ \ phi (x) \ mapsto \ phi (x) + \ alpha a ^ \ mu \ pd_ \ mu \ phi (x) $ se escribe $$ \ phi (x) \ mapsto \ phi (x) + \ alpha \, (\ iota_a \ d \ phi) (x). $$
El término relevante en su expresión ( $ \ # $ ) proviene de un término $ \ alpha \ d \ phi \ wedge \ star \ d \ iota_a \ d \ phi $ en el Lagrangiano, básicamente es solo el $ \ alpha \ star \ d \ iota_a \ d \ phi $ part. Si expandimos esto en coordenadas locales $ \ {\ dx ^ \ sigma \} $ , obtenemos: $$ \ alpha \ star \ d \ iota_a \ d \ phi = \ alpha a ^ \ mu \ pd_ \ sigma \ pd_ \ mu \ phi \; \ star \ dx ^ \ sigma = \ alpha a ^ \ mu \ pd_ \ sigma \ pd_ \ mu \ phi \ g ^ {\ nu \ sigma} \ varepsilon _ {\ nu \ lambda \ kappa \ rho} \ dx ^ \ lambda \ wedge \ dx ^ \ kappa \ wedge \ dx ^ \ rho, $$ donde en la segunda igualdad utilicé la definición de la estrella de Hodge actuando sobre la base de diferenciales. Quitando los números, $ \ varepsilon $ -symbols y los diferenciales, todo lo que nos queda es $$ g ^ {\ nu \ sigma} \ pd_ \ sigma \ pd_ \ mu \ phi, \ tag {$\#'$} $$, que es exactamente lo que habría encontrado (con su ruta mucho más corta) como $$ \ pd ^ \ nu \ pd_ \ mu \ phi \ tag {#}. $$ Por lo tanto, $ (\ # ') = ( \ #) $ .
Por supuesto, la forma típica de llegar allí es simplemente usar el hecho de que para cualquier objeto $ \ bullet_ \ mu $ con una pata de abajo podemos levantarlo usando la métrica inversa, es decir, $ \ bullet ^ \ mu: = g ^ {\ mu \ nu} \ bullet_ \ nu $ . Pero como tenías problemas para entender de dónde proviene esto desde una perspectiva de geometría diferencial, quería ceñirme a la imagen de la geometría diferencial hasta el final, desde el lagrangiano hasta el resultado final. Espero que esto te haya ayudado y no te haya confundido más.