Integración de $ \cos x.\cos 2x…\cos nx$

Question

Yo quería integrar $\int \cos x\cos 2x\cdots \cos nx \, dx$.
Lo que se es que$ \cos x\cos 2x\cdots \cos nx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\sum_\pm \cos((n\pm(n-1)\pm\cdots\pm2\pm1)x)$ donde la suma es sobre todo $2^{n-1}$ posible $\pm$.
Pero, obviamente, esto es difícil de integrar.
A partir de esto , llegué a conocer la fórmula de Werner que creo que es bastante menos complicada para resolver el problema anterior. Pero no sé cómo poner esta fórmula para un arbitrario$n$ para el problema dado.

Gracias por ayudarme de antemano.

Answer 1

Tu pregunta es: $$I_n=\int\prod_{k=1}^n\cos(kx)dx$$ podríamos intentar utilizar el hecho de que: $$\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}=\frac{e^{-ikx}}{2}\left(e^{2ikx}+1\right)$$ y luego di: $$\prod_{k=1}^n \cos(kx)=\left(\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}\right)\left(\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1\right)$$ esta primera parte es bastante fácil de hacer: $$\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}=2^{-n}\exp\left(-ix\sum_{k=1}^nk\right)=2^{-n}e^{-\frac{in(n+1)}{2}x}$$ ahora lo difícil es calcular: $$\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1$$ y luego, obviamente, integrando lo que sea el resultado