Interpretación de un cierto teorema general utilizado por Gauss en su trabajo sobre funciones theta.
Estoy tratando de entender el significado de una proposición general enunciada por Gauss en un artículo posthomous (este artículo está en las páginas 470-481 del volumen 3 del werke de Gauss) sobre funciones theta, una proposición que parece servir como guía y principio organizador de la gran cantidad de relaciones entre las funciones theta que encontró.
Notación y definiciones de Gauss
Denotamos por $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ las siguientes funciones:
$$P(x,y)=1+x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})+x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$Q(x,y)= 1-x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})-x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$R(x,y)=x^{\frac{1}{4}}(y^{\frac{1}{2}}+y^{-\frac{1}{2}})+x^{\frac{9}{4}}(y^{\frac{3}{2}}+y^{-\frac{3}{2}})+x^{\frac{25}{4}}(y^{\frac{5}{2}}+y^{-\frac{5}{2}})+...$$
Estas funciones incluyen funciones theta de Jacobi en su significado habitual como casos especiales; Si$y$ es un número complejo cuyo valor absoluto es $1$y $z$ se define como un número real tal que $y = e^{2iz}$, entonces tenemos:
$$P(x,y)=1+2cos(2z)x+2cos(4z)x^4+2cos(6z)x^9+...=\vartheta_3(z,x)$$
que se sigue de la identidad $cos(2nz)= \frac{e^{2inz}+e^{-2inz}}{2}$. En particular, tenemos:
$$P(x,1)=1+2x+2x^4+2x^9+...=\vartheta_3(0,x)$$, Para que uno pueda entender $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ como una generalización de la función theta de Jacobi $\vartheta(z,x)$ de puramente real $z$ a un complejo $z$ (parte imaginaria distinta de cero de z), de modo que $|y| \ne 1$.
Observación: No estoy muy familiarizado con las publicaciones de Jacobi, por lo que es muy posible que la definición original de Jacobi de sus funciones theta incluya también el caso cuando$z$ es complejo, por lo que las funciones de Gauss $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ no son más que simplemente funciones theta de Jacobi con notación diferente.
Teorema de gauss
El 6 de agosto de 1827, Gauss declaró el siguiente "teorema general":
$$P(x,ty)\cdot P(x,\frac{y}{t}) = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2) $$
y luego pasa a derivar una multitud de relaciones de él.
Para obtener antecedentes más completos sobre esta pregunta, consulte la respuesta a la publicación de HSM stackexchange https://hsm.stackexchange.com/questions/6256/did-gauss-know-jacobis-four-squares-theorem.
Por tanto, me gustaría saber cómo interpretar el teorema general establecido por Gauss.
Respuestas
La definición de las funciones theta de Gauss se puede escribir como
$$ P(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}y^n,\;\; R(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}+\frac12} x^{n^2}y^n. \tag{1} $$
Ahora considere el producto de dos funciones theta
$$ S := P(x,ty)\cdot P(x,y/t) = \left(\sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}(ty)^n\right) \! \left(\sum_{m\in\mathbb{Z}} x^{m^2}(y/t)^m\right). \tag{2} $$
Esto se puede reescribir como una suma doble.
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{n^2+m^2} y^{n+m}t^{n-m}. \tag{3} $$
Reescribe esto usando nuevas variables
$$ j = \frac{n+m}2,\;\; k = \frac{n-m}2 \;\; \text{ where } \;\; n = j+k,\;\; m = j-k \tag{4} $$
Llegar
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{2(j^2+k^2)} y^{2j}t^{2k}. \tag{5} $$
La doble suma $\,S\,$se divide en dos casos. Uno es$\,S_0\,$ dónde $\,n,m\,$ tener la misma paridad con $\,j,k\in\mathbb{Z}.\,$ El otro es $\,S_1\,$ dónde $\,n,m\,$ tener diferente paridad con $\,j,k\in\mathbb{Z}+\frac12.\,$ Reescribe las sumas como productos
$$ S_0 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) \tag{6} $$
y
$$ S_1 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}+\frac12} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{7} $$
El resultado final es
$$ S = S_0+S_1 = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{8} $$
Creo que esto es similar a lo que era la prueba original de Gauss, pero no tengo forma de saberlo. Este enfoque debe ser muy antiguo.
Usemos las variables $q, z$ con $q=x, y=e^{2iz}$ de modo que $$P(x, y) =\vartheta_3(z,q),Q(x,y)=\vartheta_4(z,q),R(x,y)=\vartheta_2(z,q)$$ y ahora podemos transcribir el teorema general de Gauss como $$\vartheta_3(z+w,q)\vartheta_3(z-w,q)=\vartheta_3(2z,q^2)\vartheta_3(2w,q^2)+\vartheta_2(2z,q^2)\vartheta_2(2w,q^2)$$ (con $t=e^{2iw}$) como una identidad entre las funciones theta de Jacobi.
Esta es una de las identidades más fundamentales entre funciones theta y casi todas las relaciones algebraicas entre funciones theta pueden derivarse usando esto. Puede echar un vistazo a este artículo en arXiv para algunas identidades derivadas a través de este teorema general de Gauss
La prueba de lo mismo se puede dar considerando la razón de los lados izquierdo y derecho y mostrando que se trata de funciones doblemente periódicas sin polos. Y así es una constante. Requiere un poco de esfuerzo mostrar que la constante es$1$ pero se puede mostrar con alguna manipulación algebraica en la serie correspondiente a estas funciones con $z=0,w=0$.
Por el momento, no tengo una prueba algebraica directa de la identidad anterior y tendré que verificar Jacobi Fundamenta Nova para ver si Jacobi proporcionó alguna de esas pruebas. Además, como ha señalado en su pregunta, las funciones de Jacobi Theta se definen para todos los complejos$z, q$ con $|q|<1$.