K-Teoría de $C^{*}(X)$
Soy nuevo en K-Theory por $C^{*}$-álgebra y $C^{*}$-álgebra de grupos.
Si $X$ es el grupo de biyecciones de soporte finito de números naturales, entonces, ¿cuál es la teoría K de $C^{*}(X)$?
Estaba planeando calcular $C^{*}(X)$ primero y luego sus proyecciones y sus clases de homotopía, pero no pude determinar $C^{*}(X)$ en primer lugar.
Aquí está la definición de $C^{*}$-álgebra de un grupo:
https://pages.uoregon.edu/ncp/Courses/2016ShanghaiCrPrdFiniteGps/Slides/Lecture1_Print_NoP.pdf
Alguien puede ayudarme?
Muchas gracias.
Respuestas
El grupo que describe debe ser el grupo simétrico infinito $S_{\infty}$. los$K$-teoría de su $C^*$-el álgebra ha sido determinada por Kerov y Vershik en
El K -functor (grupo de Grothendieck) del grupo simétrico infinito https://link.springer.com/article/10.1007/BF02104985
El resultado principal se puede resumir de la siguiente manera: Sea $\mathcal{A}$ser el anillo de polinomios simétricos en infinitas variables. Esto es isomorfo a$\mathbb{Z}[a_1, a_2, \dots]$, dónde $a_i$ es el $i$a función simétrica elemental en un número infinito de argumentos. Luego$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \mathcal{A}\,/\, (a_1 - 1)\mathcal{A}\ . $$ El isomorfismo envía la representación irreductible $\pi_{\lambda}$ correspondiente al diagrama de Young $\lambda$ a la función de Schur correspondiente a $\lambda$. Esto también es un isomorfismo de anillos, donde la estructura del anillo en el lado izquierdo proviene de la observación de que$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \lim_n K_0(C^*S_n) $$ y multiplica dos representaciones $\pi_1 \colon S_n \to GL(V)$ y $\pi_1 \colon S_m \to GL(W)$ a $$ Ind_{S_n \times S_m}^{S_{n+m}}(\pi_1 \otimes \pi_2)\ , $$ dónde $S_n \times S_m$ se sienta adentro $S_{n+m}$ con $S_n$ permutando el primero $n$ elementos y $S_m$ permutando el otro $m$.