¿La fórmula de integración por partes $\int f'g = - \int fg'$ ¿Es cierto para las funciones continuas de variación limitada con soporte compacto?
Asumir que $f:\mathbb R \to \mathbb C$ es una función continua de variación acotada con apoyo en $[-T,T]$. Lo sabemos$f$es diferenciable en casi todas partes. Además, deja$g \in C^\infty(\mathbb R)$estar acotado. ¿La fórmula de integración por partes$$ \int f'(x)g(x) \,dx = -\int f(x)g'(x) \, dx $$ ¿consideramos verdaderos?
Respuestas
Dejar $T > 1$ y deja $f = \chi_{[0,1]}$ ser la función característica de $[0,1]$. Luego$$ \int_{-T}^T f g' = \int_0^1 g' = g(1) - g(0). $$ Por otro lado, desde $f' = 0$ ae, $$ \int_{-T}^T f' g = 0. $$
Si entendemos $f'$ como la derivada valorada en medida $Df$ de una función BV, entonces $Df = \delta_0 - \delta_{-1}$y $$ \int_{-T}^T g\, Df = g(0) - g(1), $$ que coincide con $-\int_{-T}^T f g'$.