La importancia de aproximarse $\mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $

Question

Para mostrar que el generador infinitesimal del movimiento browniano es $\frac{1}{2}\Delta$, en esta respuesta , primero escribe la ecuación$$ \frac{d}{dt} P_t f(x) = A P_tf(x), \tag{1} $$ luego deriva la siguiente aproximación: $$ \mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $$ Luego se argumenta que "De (1) vemos que $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ es la solución (única) de la ecuación de calor "

Como se discutió aquí , no podemos simplemente reemplazar la aproximación en la ecuación del calor. Si es así,

1. ¿Por qué el autor de ese post hizo esta aproximación? ¿Cómo utilizó esta aproximación para la prueba? si no lo usó,
2. ¿Alguien puede explicar más su argumento de que: "De (1) vemos que $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ es la solución (única) de la ecuación de calor ... "?

Answer 1

Su confusión puede surgir porque cree que de alguna manera la aproximación sirve para construir una solución a la ecuación del calor. Lo que está sucediendo es que comienzas con una solución a alguna ecuación diferencial parcial (PDE), y la aproximación sirve para identificar esta PDE como la ecuación de calor. No se proporcionaron pruebas en ninguna de las publicaciones que vinculó. Son solo argumentos formales para ayudar a desarrollar la intuición.

Empiece con su segunda pregunta. La ecuación (1) es$$\frac{d}{dt}P_t f(x) = A P_t f(x).$$Por definición ,$P_t f(x) = \mathbb{E}^x [f(B_t)].$ Ajuste $u(t,x) = P_t f(x)$ en la ecuación (1), tenemos $$\frac{d}{dt} u(t,x) = A u(t, x). \tag{$\ traje de spa$}$$ Aquí, $A$ es un operador diferencial, entonces $u(t,x)$resuelve alguna ecuación diferencial con algunas condiciones iniciales. ¿Qué ecuación diferencial es?

Para adivinar qué ecuación diferencial es, la aproximación$u(t,x) \approx f(x) + t f''(x)/2$se utiliza. Poniendo esto directamente en el lado izquierdo de ($\spadesuit$), tu encuentras $$\frac{d}{dt} u(t,x) = \frac{d}{dt}\left(f(x) + t\frac{f''(x)}{2}\right)=\frac{f''(x)}{2}=Au(t,x).$$ Basado en esta relación, ¿puede adivinar qué $A$ ¿es?