La prueba de cada PID es Noetherian
Vi la prueba de esta proposición aquí , pero tengo una pregunta sobre esto.
La definición de anillo noetheriano es que ese anillo es conmutativo, y cada ideal de R se genera de forma finita, ¿verdad? El anillo principal es cada ideal de ese anillo generado por un solo elemento, por lo que está claro. Pero tengo curiosidad acerca de que no solo el PID, sino también el anillo principal es Noetherian.
¡Gracias!
Respuestas
Tienes razón, no tiene nada que ver con ser un dominio.
En un anillo ideal principal, todos los ideales se generan de manera finita porque, a fortiori , se generan individualmente . Es decir, ¡un grupo electrógeno de un elemento es un grupo electrógeno finito!
La cuestión es que, en algunos contextos, los autores se limitan a limitarse a los dominios. Así que no hay un gran misterio sobre la inclusión de la condición del dominio, es solo una cuestión de contexto.