La secuencia de epimorfismos de grupos residualmente finitos se estabiliza
Dejar $G_1 \to G_2 \to \cdots$ser una secuencia de epimorfismos de grupos finitos residuales generados finitamente. ¿Eventualmente se estabiliza? Es decir, ¿todos los epimorfismos, salvo un número finito, son realmente isomorfismos?
Tenga en cuenta que los grupos finitos residuales generados finitamente son hopfianos, por lo que esto excluye el contraejemplo simple de cada $G_i$ siendo un grupo fijo y cada epimorfismo es fijo sobre sí mismo.
El resultado análogo se cumple cuando los grupos son residualmente libres: esta es la Proposición 6.8 en Charpentier Guirardel "Grupos límite como límites de grupos libres" . La prueba solo usa el hecho de que los grupos residualmente libres son residualmente$SL_2(\mathbb{C})$, y parece que se puede adaptar al caso donde cada $G_i$ es residualmente $GL_n(\mathbb{C})$ por un fijo $n$. Parece poco probable que esto sea válido para los grupos residaully finitos generales: el teorema de Jordan-Schur implica que para un grupo finito general el grado mínimo$n$ tal que se incrusta en $GL_n(\mathbb{C})$ puede ser arbitrariamente grande.
¿Existe otra forma de adaptar la prueba? ¿Existe un contraejemplo?
Respuestas
La respuesta es no". El grupo del farolero (que se presenta infinitamente) es un límite de una secuencia de grupos virtualmente libres y homomorfismos sobreyectivos (ver, por ejemplo, esta pregunta y sus respuestas allí ). Todos los grupos virtualmente libres son residualmente finitos.
En la misma línea que la respuesta de dodd, también se puede deducir un contraejemplo del segundo grupo de Houghton $H_2$, que se define como el grupo de biyecciones $L^{(0)} \to L^{(0)}$ que preserva la adyacencia y la no adyacencia para todos menos pares finitos de vértices en la línea bi-infinita $L$. Una presentación de$H_2$ es $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle$$ dónde $t$ corresponde a una unidad de traducción y $\sigma_i$ a la permutación $(i,i+1)$. Ahora, trunca la presentación y define$G_n$ vía $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ n \geq |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle.$$ Usando las relaciones $t\sigma_it^{-1}=\sigma_{i+1}$ para quitar los generadores $\sigma_0,\sigma_{-1},\ldots$ y $\sigma_{n+2},\sigma_{n+3},\ldots$, encontramos la siguiente presentación de $G_n$: $$\left\langle \sigma_1, \ldots, \sigma_{n+1}, t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ 1 \leq i \leq n} \right. \right\rangle.$$ Observe en esta presentación que $G_n$ se descompone como una extensión HNN de $$\left\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_{n+1} \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \right. \right\rangle,$$ que resulta ser isomorfo al grupo simétrico $\mathfrak{S}_{n+2}$, donde la letra estable se conjuga $\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_n \rangle$ a $\langle \sigma_2, \ldots, \sigma_{n+1} \rangle$. Por lo tanto, como la extensión HNN de un grupo finito,$G_n$ debe ser virtualmente gratis.
La conclusión es que los mapas de cocientes canónicos $G_1 \twoheadrightarrow G_2 \twoheadrightarrow \cdots$ define una secuencia de epimorfismos entre grupos prácticamente libres que no se estabiliza.
Observación: Al reproducir el argumento anterior casi palabra por palabra con el grupo de faroleros$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ en lugar del grupo Houghton $H_2$proporciona la misma conclusión. La razón es que estos grupos tienen una estructura similar: son de la forma$C \rtimes \mathbb{Z}$ para algún grupo Coxeter localmente finito $C$ dónde $\mathbb{Z}$ actúa sobre $C$ a través de una isometría del gráfico que define $C$. (Hablando libremente, todos los otros grupos de esta forma se pueden recuperar de$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ y $H_2$, por lo que no hay otros ejemplos interesantes en esta dirección).