Límite con logaritmo complejo

Question

¿Existen estos límites que involucran la rama principal del logaritmo natural? $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ $$\lim_{z\rightarrow 0}\ln(z^2-1)$$

Creo que el primer límite es solo $i\pi$. Pero no sé cómo justificarlo.

Para el segundo límite, el punto $z\rightarrow 0$está en la rama cortada. Entonces creo que el límite no existe porque$\ln$no está definido. ¿Es esto correcto?

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

por $z \in \mathbb C\setminus \{0\}$, tienes $\Im(-i \vert z \vert -1) = -\vert z \vert <0$.

Por lo tanto $$\lim\limits_{z \to 0} \ln(-i\vert z \vert -1)=-i\pi.$$

Nota: sin embargo, el mapa $f : z \mapsto \ln(-i\vert z \vert -1)$ no es continuo en cero como $f(0) =i\pi$.

Y tienes razón con respecto al segundo límite: no existe.

Answer 2

¡Empecemos por el primero! $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ lo sabemos $$e^{i{\theta}}=cos(\theta)+isin(\theta)$$ $$ln(e^{i{\theta}})=ln(cos(\theta)+isin(\theta)) $$ $$i\theta=ln(cos(\theta)+isin(\theta))$$ $$\boxed{\theta=-iln(cos(\theta)+isin(\theta))} \quad (1)$$ Entonces, si tenemos: $$ln(-1)$$ esto significa que $$cos(\theta)=-1 \space and \space sin(\theta)=0$$ $$\theta=arccos(-1)$$ así $$\theta={\pi}$$ Ahora podemos sustituir en $$ \quad (1)$$ $$\boxed{\pi=-iln(cos(\pi)+isin(\pi))}$$ $$\boxed{i{\pi=ln(-1)}}$$Puede justificar el segundo ejercicio de la misma manera. (Perdón por mi inglés y mis habilidades de mecanografía)