Límite inferior de Cramer-Rao para $g(\lambda)$ = $e^{-\lambda}$ cuando $x_i \sim Pois(\lambda)$

Question

Dejar $x_1 ... x_n$ ser $Pois(\lambda)$, $\lambda>0$ y $n \geq 2$. Utilizar$W(X)=I(X_1=0)$ para estimar $g(\lambda)=e^{-\lambda}$. Adicionalmente,$T(X)= \sum_{i=1}^n X_i$ es una estadística suficiente para $\lambda$.

Ya he probado que $\phi(T(X))=(1-\frac{1}{n})^{\sum_{i=1}^n X_i}$ es un estimador insesgado de $e^{-\lambda}$.

Quiero probar si $\phi(T(X))$ alcanza el límite inferior de Cramer-Rao, pero me pierdo tratando de calcularlo aplicando la definición.

Answer 1

Primero, calculemos la varianza de $\phi(T(X))$:

$$\begin{align} \mathbb E[\phi(T(X))^2]&=\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{-n\lambda}(n\lambda)^k}{k!}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2k}\\ &=e^{-n\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{(n\lambda)^k}{k!}\left(1-\frac 2n+\frac 1{n^2}\right)^k\\ &=e^{-n\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\left(n\lambda-2\lambda+\frac{\lambda}{n}\right)^k\\ &=e^{-n\lambda}\cdot e^{n\lambda-2\lambda+\frac\lambda n}\\ &=e^{\lambda\left(\frac{1}{n}-2\right)} \end{align}$$

Y, usando el hecho de que $\phi(T(X))$ es imparcial:

$$\begin{align} \text{Var}(\phi(T(X)))&=\mathbb E[\phi(T(X))^2]-\mathbb E[\phi(T(X))]^2\\ &=e^{\lambda\left(\frac{1}{n}-2\right)}-e^{-2\lambda}\\ &=e^{-2\lambda}\cdot\left(e^{\lambda/n}-1\right) \end{align}$$

Ahora, tenemos que comparar esto con el límite de Cramér-Rao. La función de verosimilitud viene dada por:

$$\begin{align} \ell(\lambda)&=\sum_{i=1}^n\log\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{X_i}}{X_i!}\right)=-n\lambda + \log(\lambda)T(X)-\sum_{i=1}^n\log(X_i!) \end{align}$$

Entonces, podemos obtener la información de Fisher:

$$\begin{align} \mathcal I_F&=-\mathbb E\left[\frac{\partial^2\ell(\lambda)}{\partial\lambda^2}\right]=\mathbb E\left[\frac{T(X)}{\lambda^2}\right]=\frac n\lambda \end{align}$$

Finalmente, el Cramér-Rao con destino $g(\lambda)$ es:

$$\frac{g'(\lambda)^2}{\mathcal I_F}=\frac{e^{-2\lambda}}{n/\lambda}=\frac{\lambda}{n}e^{-2\lambda}$$

Lo cual es diferente de la varianza que encontramos anteriormente, por lo que el estimador que encontró no alcanza el límite de Cramér-Rao . También puede probar, utilizando la expansión de Taylor, que su estimador es asintóticamente eficiente , es decir, la varianza del estimador es asintóticamente igual al límite de Cramér-Rao.

¡Espero que haya sido útil!